История о том, как одно маленькое упрощение привело специалистов компании “Арсагера” к ошибочным выводам

Около года назад в поисках материалов о стратегиях на рынках облигаций я натолкнулся на образовательное видео от компании “Арсагера” — “Управление портфелем облигаций. Эффекты стратегии и тактики” Это запись двухчасового семинара, на котором большей частью обсуждались свойства портфелей с неизменной дюрацией. Поскольку я в скором времени собираюсь написать небольшую статью о таргетировании дюрации, то решил пересмотреть видео более внимательно.

В самом начале семинара лектор сравнил пай фонда облигаций с “бесконечной облигацией” и задался вопросом, — а что, собственно, должно происходить с его стоимостью? Он рассказал, что долгое время обдумывал проблему и в результате разработал модель динамики доходности пая.

Искомая модель оказалась довольно простой и элегантной: весь облигационный портфель заменяется бескупонной облигацией (этот процесс в лекции назван “синтезом”), имеющей аналогичные доходность к погашению и дюрацию. Эта облигация, по словам лектора, “чопает к номиналу” со средней дневной скоростью ΔP = (N — P)/T, где T — количество дней до погашения, N — номинальная стоимость, P — цена приобретения. В таком сеттинге нелинейные приращения заменяются линейными, вследствие чего доходность к погашению облигации рассчитывается как простая, а не эффективная.

Затем слушателям предложили три способа определения цены:

• расчет при постоянной доходности к погашению,
• линейный, с учетом ежедневных абсолютных приращений
• использование фактических доходностей ОФЗ

Поначалу было не очень понятно, зачем это нужно, но оказалось, что докладчик обнаружил интересный эффект: при линейном росте цены дисконтной облигации ее доходность к погашению плавно снижается с уменьшением срока до погашения (пример — график “дох-сть. 2” на иллюстрации ниже)

Такая зависимость чем-то напоминает нормальную форму кривой доходности (в качестве примера на той же иллюстрации приведен график “дох-сть 3”, т. е. кривая доходности ОФЗ) Данный “факт” и послужил оправданием использования “линейной” модели для расчета динамики стоимости пая.

Исследуя динамику цены дисконтной облигации в предположении изменчивых рыночных ставок, докладчик совершенно правильно разделил доходность за период владения на две составляющих:

1) положительный прирост за счет уменьшения оставшегося времени до погашения (в литературе это называется accrual)

2) переоценка, связанная с изменением доходности к погашению (соответственно, общепринятый термин, — capital change) Эта переоценка будет отрицательной, если рыночные ставки вырастут, и положительной в обратном случае.

Также лектор верно отметил, что при приближении к дате погашения эффект начисления в конце-концов побеждает эффект переоценки, ведь облигация должна выплатить строго определенный номинал.

Однако портфель с таргетируемой дюрацией отличается от облигации, удерживаемой до погашения и подобное сравнение не вполне корректно, его обязательно нужно уточнить и дополнить, чем автор модели решил пренебречь. В результате у слушателей могло возникнуть искаженное впечатление о предмете обсуждения. Впрочем, это несущественные детали, и гораздо более серьезная ошибка — использование линейного подхода при вычислении того самого положительного прироста (accrual)

Последствия ошибочных рассуждений хорошо видны на примере предложенной докладчиком так называемой “простой модели”. Она предполагает, что при удержании портфеля с постоянной дюрацией в течение одного периода доходность к погашению остается постоянной.


Таргетируемая дюрация — 3 года, период удержания — 1 год, доходность 9.9%. Перформанс фонда облигаций сравнивается с доходом от банковского депозита при ставке 9.9%. Автор модели линейным способом рассчитывает ежемесячный прирост капитала в размере около 0.9% и получает, что отдача от фонда значительно выше: 11.5%

Он называет это “открытием” и “удивительным результатом”. По его мнению, полтора процента дополнительной доходности возникает из-за того, что “кто-то не дает укоротиться портфелю облигаций”. Понятно, что под этими “кто-то” имеются в виду сотрудники компании “Арсагера”. Докладчик риторически вопрошает: “может мы не зря свой хлеб едим, полпроцента берем, полтора даем?”

В подтверждение своей теории автор приводит расчеты для различных дюраций фонда. Хорошо видно, что увеличение дюрации приводит к росту полученной за период доходности. Преимущество по сравнению с депозитом становится очевидным.


Вместе с тем, постоянные читатели моего блога знают одну непреложную истину:

Если процентная ставка r остается постоянной для всех периодов начисления, то будущая стоимость портфеля облигаций не зависит от его состава и используемой стратегии инвестирования. Она всегда будет расти как (1+r)ᵏ, где k — количество периодов.

Никакие тактические ухищрения и, как бы выразился Президент Беларуси, “перетрахивания” портфеля облигаций не дают преимущества в реализованной за период доходности, если ставка процента не изменяется.

Это легко проверяется и для примера портфеля из “простой модели” Цена трехлетней дисконтной облигации была рассчитана из уравнения P∙(1+9.9%)³ = 100%, откуда P = 75.34%. Через месяц ее цена увеличится до 75.93% (для этого мы в той же формуле уменьшим степень 3 на 1/12). Прирост цены составит 0.59% и он ниже указанного в таблице (0.7%). Мы продаем старую облигацию и опять покупаем трехлетку по цене 75.34%. В итоге у нас на руках окажется 75.93/75.34 = 1.0079 частей новой трехлетней облигации, которую мы будем удерживать в течение следующего месяца. Легко заметить общий алгоритм такой ребалансировки и получить, что доходность стратегии за год составит 1.0079¹² — 1 = 9.9%, т.е. не будет отличаться от доходности банковского депозита.

Таким образом, по крайней мере в данной ситуации, никакого дополнительного выхлопа от стратегии таргетирования дюрации фонда нет. Увеличение дюрации также не поможет. Так в чем же тут дело и где произошло надувательство?  Думаю, читатели уже догадались, что автора “простой” модели подвела “детская” ошибка вкладчика, которой вовсю пользуются банки, указывая вместо эффективной простую доходность вклада с выплатой процентов в конце срока. Простая доходность всегда будет выше, если срок депозита превышает один год. Так получается из-за того, что доход, рассчитанный как результат сложного начисления процентов, затем равномерно размазывается по всей длине депозита. В примере из модели рассматривается трехлетняя дисконтная облигация, цена которой была получена методом дисконтирования, а будущая стоимость — линейными приращениями. Авторы смешали два взаимоисключающих подхода.

Самое удивительное во всём этом то, что докладчик ранее сам же обратил внимание, что для линейного роста цены облигации (используемое в “простой” модели предположение) необходимо постепенное уменьшение доходности к погашению. Только в этом случае корректный расчет стоимости портфеля даст указанную в таблице доходность. Но тогда ошибочность подхода станет совсем очевидной: нельзя же сравнивать несравнимое. И ежу понятно, что при падении ставок длинные облигации выигрывают у короткого депозита за счет прироста капитала. Это основа основ при спекуляциях длинными облигациями, основанных на прогнозах снижения рыночной доходности.

К сожалению, использование негодной модели в какой-то степени нивелирует и все остальные расчеты, полученные для различных сценариев динамики процентных ставок. При этом нельзя не отметить, что докладчик проделал большую и полезную работу, но “головокружение от успехов” и случайно совершенное “открытие” не дали ему критично воспринять плоды своих трудов. Искренне надеюсь, что в компании “Арсагера” проведут дополнительные исследования, исправят модель и представят сообществу инвесторов многократно проверенные результаты.

Какой урок из этой истории может извлечь частный инвестор? Никогда нельзя доверять на слово стороне селл-сайд, если она обещает  дополнительную прибыль как следствие некоей финансовой алхимии, умной ребалансировки портфеля, применения стратегий смарт бета и прочей плохо проверяемой деятельности сотрудников УК. До всего нужно додумываться самому, и стараться не перекладывать инвестиционные решения на плечи сидящих на проценте от стоимости активов менеджеров.