Каждый учебник предлагает нам простой и эффективный метод извлечения прибыли — репликация опциона при помощи фьючерса. При чем все, что для этого нужно — всего лишь «не думать и торговать по принципу: растёт — покупай, падает — продавай!». Всё просто, понятно, бесспорно и… совершенно неверно.
Потому что «не думать» — в процессе погони за прибылью, — на самом деле, сложно. И если вам непонятно, зачем вообще нужны эти опционы, если они так легко реплицируются фьючерсами, то просто брать, и «не думать», уже не получается. Не думать хорошо после того как вы уже хорошо подумали, и думать второй раз — как минимум, лень. А с первого раза вообще мало чего получается. Особенно — не думать.
Так бы и закончилось моё дельта-хеджирование не начавшись, если бы оно не было столь модным. А то ещё всякое бывает — не задельта-хеджируешь, а потом скажут, что вот, дескать, «Пастернака не читал, но действия его уже осуждает». Нет, надо всё таки разок попробовать… А то в приличном обществе ещё и засмеют почём зря.
Ну и поскольку думать мозгами — это долго, а моделировать — вроде как побыстрее, то пошёл я за советом к бабе яге электронной, тем более она умнее — я-то всего лишь Кот, а она чай высокая технология… Дал ей случайный сигнал с волатильностью 1, дал проданных месячных стрэддлов с премией 10% годовых, фьючерсов для дельта хеджа с комиссиями по 0.1% и говорю — свари-ка мне милая, волшебное зелье дельта-хеджера!
Та в ступу всё положила, пест в руку взяла, и как давай толочь, растирать! Через три дня и три ночи вынесла зелье… Говорит — если будешь по утру натираться, то все беды тебя стороной обходить будут, ни стрела не возьмёт, ни хворь, ни любовь окаянная.
На тарелочке, да с каемочкой, мне картинку такую оставила. Говорит, хорошо будешь мазаться — в половину ли где риски снизятся, а доходность такой же останется, только чуть уйдет, несущественно, если фьючерсы брать не так дорого.
Прайсил просто — по БШ (~0.8 сигма, интеграл по прибыли от Гаусса) + премия, чтобы МОЖ было больше нуля. Но это такая уже штука… стоимость д\х с эффектом сравнивать…
30/16 (магическое число) = 1.875% -
Если бы у нас вола опциона была выше, то опцион бы потерял больше. Поэтому мы сравниваем волу опциона с БА.
Эксель, матлаб, R, питон и любая другая программа это только подтвердят.
Приращение тетты за любой период перерасчета не важно при расчете дельты, потому что дельта слишком локальная и рассчитывается в пределе малых приращений цены БА, так что приращение тетта -> 0.
Если вы деревья строите с шагом 2%, то да — учет более высоких производных для вас становится важным. Т.е. ДХ строить не по локальной, а по усредненной «дельте».
(вообще говоря, в непрерывном варианте это называется дельта-гамма хеджированием)
Если вы говорите об ошибках точности, возникающих в случае конечных приращений, то так и говорите.
Давайте сначала. Вы генерите ГБД. Видимо как дифур с непрерывным временем. Потом, дискретно, начинаете измерять его волатильность. Таким образом сигма становится не стационарной. ДХ опциона вы тоже делаете дискретно. Причем, с шагом дельты которая меняется по времени. У вас уже 3 волатильности. Дальше вам надо оценить в деньгах ваш результат, а это умножить разницу волатильностей на гамму*(цена^2)*0.5. Эта величина зависит от траектории спота. Четверая волатильность.
Так что тут надо определиться с какой волатильностью вы работаете.
1. Я генерирую арифметическое броуновское движение с заданной Sigma.
2. Я задаю волатильность Д/Х через заданное, априорно известное Sigma.
3. Таким образом, никакого многообразия волатильностей у меня не наблюдается.
4. Согласно ряду Тейлора, изменение стоимости портфеля соответствует:
dP = Delta*dS+ 0.5*Gamma*dS^2 +… +… + ...
никакой дополнительной волатильности и никакой разницы волатильностей здесь не требуется. Разность волатильностей возникает только в случае пренебрежения дисперсией и принятии dP=RV* с последующем учётом тетта-распада.
Но в нашем случае (численного моделирования) ничего этого не требуется.
------------------------------
Что касается численного получения результатов ДХ, обладающих конечной, ненулевой дисперсией, то это естественно, так как существует конечная точность Д/Х связанная с дискретным интервалом Д/Х и, соответственно, с производными цены высших порядков — гамма и т.д.
При увеличении частоты Д/Х в 5 раз, конечная дисперсия результатов падает, в моём случае, ещё в ~ 2.25 раза. При сокращении частоты Д/Х в 5 раз — растёт, постепенно превращаясь в дисперсию результатов без Д/Х (что очевидно).
Учёт высших порядков ( то есть дельта-гамма хеджирование) помимо прочего, без изменения частоты Д/Х позволяет получить более качественные результаты, но до спектральной линии (бездисперсионное распределение) результаты тестов оно не доводит.
1. Я генерирую арифметическое броуновское движение с заданной Sigma.
Непрерывно подбрасываем монетку. Ее волатильность 1. У нас броуновский процесс. +1 и -1 (орел и решка). Понятно, что волатильность 1 у нас ни как не меняется. И это просто хеджируется в 0. Достаточно делать ставку на орла и решку одновременно.
Теперь мы начинаем делать ДХ дискретно. Через два броска монетки. У нас 3 состояния +1 0 -1. Мы можем отнормировать по времени, но и так понятно, что в сигме появилась динамика.
И это ответы на 2.3.4. Пункты.
Как это выглядит в ценовом процессе. (вам хорошо, вы языки знаете, а я только эксель). 10 дней цена меняется по приращению лог 1%. Измеряем волу и получаем 1%. Дельту мы ровняем через 2% (там у нас круглое число дельт и мы берем их с опциона где вола константа). Происходит 10 событий в БА -1+1… вола 1%. А в нашем ДХ вола 0. Мы не разу не прошли 2%. Происходит 10 событий в БА +1+1+1+1 вола 1%(почти), а в ДХ через 2%, 5 событий. Вола?
Так появляется зависимость частоты ДХ и результатов. Ну и чем чаще мы будем делать ДХ, тем ближе будем приближаться к воле БА.
Да, верно. Но не все заданные процессы имеют нулевую дисперсию «волатильности», в смысле результат тождественно равный волатильности.
Для монетки достаточно продать стреддл. Для Гаусса на 1 шаг — уже нет.
Здесь вообще нет проблем хеджа. Даже при дискретности.
У меня по времени сделано, но мысль понятна.
Хороший пример, наглядный. Как раз из-за этого 0 и не получается. СКО «волатильности» около 0.6*S0 * t^0.5 (для Гаусса) и у меня это с хорошей точностью соответствует СКО стрэддла.
Но этот пример, с монеткой, заметьте, совершенно не то же самое, что использование дельта-хеджа и формулы БШ.
Теперь нужно попробовать пределы рассчитать.
Вы лучше скажите как его починить? =)
www.moex.com/a3826
В качестве дополнения -
www.moex.com/a3825
=) это разве «бан»… дебильное недоразумение очередное. Вам как серьёзному трейдеру с большим оборотом торгов вообще пофиг на сбор за транзакции должно быть.