Блог им. Dabelw

Основы (дифуры Ито)

Был такой дядька. Киёси Ито. Работал в статистическом  управлении и писал книжки. Интернета тогда не было, поэтому он, как и Тимофей Мартынов, делал книжки из бумаги и писал в них ручками. Писал он о теории вероятности и стохастике, то есть про кроликов, и внимание. За эти работы он получил степень доктора философии. То есть, тут не столько вопрос в математике, сколько в философии.

Дифур это такой способ записи философской мысли. Когда вы рисуете каналы по лоу на графике, вы даже не задумываетесь, что это касательная, а значит производная функции цены от времени. Для записи мысли или идеи мы воспользуемся дифурами, а потом переведем их. В общем, их особо ни кто не решает. Берут справочник производных и вуаля.  dx/dt = α x => x(t) = x0 e^αt. Уравнение разряда конденсатора dx/dt.  У каждого уважающего опционщика такой справочник есть. Это греки опционов. Там дифур и его значение в обычной формуле, куда можно уже цифры подставить. И все.

Из предыдущего материала мы помним. dx = µ x dt + σ x δW. Мгновенное изменение цены=среднему изменению+размеру изменения*случайное изменение. Давайте этим философским языком пообщаемся. И легче всего это понять методом Кирилла Ильинского.

Мы не скажем про случайности, распределения, улыбки, логнормали. Будем, как нормальные люди, смотреть на цены. Купим колл, и продадим БА, получим стреддл. У нас получится профиль в виде параболы.

Основы (дифуры Ито)

Парабола у нас получилась, потому что x^2. Ну и теперь посмотрим, откуда у нас берется тетта. А тетта это изменение кола за время t. Тогда можно записать изменение цены кола dC/dt, С-колл. И вы помните, что в табличке этому выражению есть соответствующая формул. Теперь, цена БА S у нас начинает меняться, движемся вправо. Мы движемся по проекции параболы. И у нас возникает первая производная. Касательная к параболе в точке P/L. Помните, в школе через тангенс находили? И это производная наша дельта dC/dS (изменение цены кола от изменения цены БА). Если на величину этой дельты мы продадим еще актива, то начнем, как бы сначала (дельта0), и мы продадим. Еще нас интересует, как эта дельта меняется. А это вторая производная. И мы запишем d^2*C/d*S^2, что есть гамма и у нас есть ее перевод в обычную формулу. В то же время при движении вверх у рынка начинает меняться доходность. Актив начинают продавать и цена возвращается назад на цену «раз».  Цена вернулась, мы откупили, то, что продали, выровняли дельту, сделали денег.  Так как цена сходила вверх вниз, то мы возьмем только половину ее всего движений ½. Кроме того у нас происходило изменение цены на величину (разницу) delta (это не дельта опциона, а такой треугольник перед S, обозначение) deltaS. А так как изменение цены туда сюда, то это изменение deltaS^2 (возводим в квадрат). У нас получится dC/dt=1/2*( d^2*C/d*S^2)* deltaS^2. В этом месте мы должны определится. Что лучше 1000 рублей и дельта 100 или 500 рублей и дельта 100. Что вы будите анализировать цены или доходность. Поэтому мы запишем deltaS^2=S^2*процент изменения^2. Процент изменения назовем «σ», а ее квадрат дисперсией. Получили dC/dt=1/2*( d^2*C/d*S^2)* S^2* σ^2. И это и есть формула БШ. Так как мы сходили наверх там продали дорого, а вернувшись, купили дешево, то у нас есть гешефт и мы хотим зафиксировать прибыль. Так все хотят зафиксировать прибыль. Поэтому опционы продают, а когда продают, цена становится дешевле. Таким образом ваша тетта зависит не от времени до экспирации, а от того как ходит актив. Не от стакана и ликвидности, а от того, кому надо прибыль зафиксировать. Если бы цена не сходила туда сюда, опцион бы остался по той же цене.

Теперь берем табличку греков и подставляем. Тетта=1/2гамма*ценаБА^2*волатильность^2. Тетта это ваш доход. Давайте в этих же терминах обсудим без опционов. Конечно, если вы купили один фьючерс, поставили стоп лосс и тейк профит, то это несколько другое. Это как в игровой автомат бросил 15 копеек и проиграл. Там другой расчет. Я о том, что вы сделали позицию. 50% акций 50% облигаций. Дельта вашей позиции dD/dS, где D объем купленный акций, а S весь ваш капитал. Это может быть цена одной бумаги, или подобранного портфеля, но мы уже знаем, что меняться она будет как S^2* σ^2.  Поэтому, ваш доход dD/dt  будет равен S^2* σ^2 * 1/2 второй производной *( d^2*D/d*S^2)*0.5 и так как у нас 50% капитала задействовано, то наш весь капитал это ЦС.

Пишем решение. Приравняем к нулю  1/2Гамма* S^2* σ^2  — Тетта=0. Гамма, 1/2* N`(d1)/(S σT^0.5)* (S^2* σ^2). Сокращаем S и σ получаем тетту. И правда 0. Тогда наш доход D=тета. И если наша стратегия покупать на росте, продавать на падении, то тета отрицательная. D=-(S*N`(d1)*σ)/(2*T^0.5). Давайте время Т возьмем один год, а годовую IV волу 20%, капитал за 1 000. Получим (1/(2Пи)^0.5*1000*0.2*1)/2=-40 и это с минусом. Ну и понятно, откуда это взялось. Портфель ребалансируется, покупаем дорого, продаем дешево. Берем цифры, S=1000, вола 20%, время год, подставляем в калькулятор опционов и получаем, что наша премия 80. Куда 40 рублей делось, не знаю. Может кто расскажет?

ЗЫ Коль пошли такие сложности. Нужна визуализация. В следующий раз я сделаю файлик из эксель и мы построим график цены. Построим мы его из случайный чисел. И он будет полностью соответствовать движению настоящего БА. С уровнями, волнами, пробоями. Вы сможете на нем тренироваться не только в опционах, но и в обычном трейдинге. И там поговорим о случайностях.

Если интересно…

★23
93 комментария
 Когда вы рисуете каналы по лоу на графике, вы даже не задумываетесь, что это касательная, а значит производная функции цены от времени.

А там точно существует производная в точке касания?

avatar

Ruslan Pankratov, по идее, нет: броуновское движение недифференцируемо.

 

=) Но все ТА-шники все равно проводят прямые линии через локальные экстремумы графика.

avatar
ch5oh, Но если производные ищут, то пытаются дифференцировать. Мужики то не знают
ch5oh, не, ну вы чего, мужики!

Нет там производной. И производной Ито в природе не существует.
Есть стохастический дифференциал. Что такое дифференциал для стохастического процесса с нигде не дифференцируемыми траекториями — легко можно представить — это значит, что малое приращение такого процесса будет похоже на другой, известный процесс (с медленно изменяющимися параметрами).

Поэтому и стохастические дифуры записываются в терминах дифференциалов.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, Ну у нас не мат кружок. Поэтому мы решать их не будем, а сразу возьмем готовый перевод из греков. Так же мы ни чего не нарушим? 
Дмитрий Новиков, нарушим, конечно. Но Вам можно.
avatar
Дмитрий Новиков, легко можем нарушить

Просто если есть понимание, что такое стохастический дифференциал (я примерно написал выше), то формула Ито — вполне очевидное следствие из разложения функции в ряд Тейлора.

Если же рассматривать формулу Ито как правило для дифференцирования — получаем сложную, громоздкую, непонятную конструкцию, в которой легко запутаться. К примеру — перепутать где- нибудь частную производную с обычной — и п"№; ец котенку...

Я ничего Вам не навязываю, просто вычисления надо делать аккуратно. К примеру, все греки, кроме гаммы — первые производные, гамма — вторая. Так что работать с ними надо по-разному...

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, кстати, построение стохастических уравнений по Ито мне показалось крайне надуманным и ограниченным. Настолько надуманным, что встает вопрос вообще о применимости всего этого аппарата к реальному рынку…
avatar
ch5oh, не, ну почему же

Обобщенный винеровский процесс, у которого матожидание и дисперсия нестационарны, зависят как от цены, так и от времени.
Нормальная такая модель в первом приближении.

Не?
avatar
Мальчик Buybuy, не уверен в адекватности этой модели. Даже можно сказать "сомневаюсь".
avatar
ch5oh, it's Ok

А как должна выглядеть адекватная модель? Хотя бы примерно

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, =)
avatar
ch5oh, А что именно надумано. Вроде все учтено.
ch5oh, Мальчик Buybuy , Странно вы рассуждаете. Всем можно искать производную. А мне нельзя. Возьмем наш процесс и сделаем волу 0. Останется МЮ. Найдем производную E^МЮ. Потом найдем 2,3,4 производные.  
Я на конференции МОК задал вопрос: «Кто считает, что рынок не случаен» 1/3 зала подняла руки. 2/3 постеснялось. Откуда следует. После 10 летних наблюдений, рынок для трейдера становится не случайным, а значит вола исчезает и можно начинать дифференцировать. Только аккуратно. И не экспонентой, а прямой линией. Ну просто потому, что в терминалах не дают возможности проводить кривые линии. 

Дмитрий Новиков, мы уже раз 10 ездили по этой дискуссии. Все упирается в определение термина «случаен». Если Вы не можете предсказать в точности цену закрытия следующей минутки, значит, рынок случаен (для Вас). И тогда начинаются игры с распределением вероятности и т.д.

 

И, кстати, из Вашего опроса следует, что 2/3 зала считают рынок случайным.

avatar
ch5oh, про 2/3 это шутка. Все таки МОК. Люди опционы торгуют. Относительно терминов, вы правы. Минутка это случайность и не только для меня. А вот распределение это уже больше чем случайность. Согласны?

Дмитрий Новиков, не понял мысль про "распределение больше чем случайность"??? В каком смысле "больше"?


Если Вы имеете в виду что Распределение Случайной Величины "априорно содержит дополнительную информацию о случайной величине" — согласен.

 

Что оно неким образом ограничивает и структурирует возможную реализацию — согласен.

 

Делает ли распределение Случайную Величину менее случайной??? Звучит как схоластика. Вроде бы делает (особенно гауссово распределение), а вроде бы и нет. Случайность же никуда не делась. В исследуемом процессе не появился дополнительный «детерминизм» просто от того, что мы тщательней изучили гистограмму эмпирического распределения.

avatar
ch5oh, нет нет нет. Случайная величина такой и остается. Появляются некоторые свойства, которые больше чем случайность. Жить это не помогает, но успокаивает:)
Дмитрий Новиков, например?


Если мы не берем экзотику типа Коши, то у всех СВ есть первые 3-4 момента.


Какие такие загадочные «некоторые свойства» помимо этих Вы имеете в виду? =)
avatar
ch5oh, Волатильность и ее распределения. Я думаю мы с вами анализ цен давно проехали. Все эти моменты в ценах и появляются за счет непостоянной волатильности.
Дмитрий Новиков, тоже думал, что мы это проехали. «Все эти моменты» появляются просто потому, что практически любое распределение имеет нетривиальные моменты. А вовсе не потому, что где-то там на балконе кто-то нестационарен.
avatar
ch5oh, Да нет. Сделайте последовательность +1=цена вверх -1 цена вниз и получим гауса.

Дмитрий Новиков, чет не хочется делать +1/-1. Зачем? Изобретаем биномиальную модель???

 

Лучше сделать N(mu, sigma) сразу.

avatar
ch5oh, Просто биномиальная модель вам и даст гауса. А вот сигма даст моменты. Мю просто сдвинет распределение, но не повлияет на сигму. 
ch5oh, PS Что то ни кто не написал. Почему в расчете БШ премия опциона получается в 2 раза больше тетты? Где подвох?

Дмитрий Новиков, где именно «премия получилась в 2 раза больше»? Премия — это премия. Она в рублях. Тета — это первая производная. Она имеет размерность рубль/день. Сравнивать тету и цену и справшивать «почему?» — примерно как спрашивать "что слаще: громкое или зеленое?"

avatar
ch5oh, Ну хорошо. Берем год и всю тетту, на дни не делим. 
тетта=D=-(S*N`(d1)*σ/2, а премия =-(S*N`(d1)*σ). Где половина?
Дмитрий Новиков, если мы взяли годовой опцион и взяли интервал времени год, то интеграл теты по времени в точности равен премии опциона в первый момент времени. Нет?


Вы дергаете с потолка какую-то формулу и… и дальше что? Вдруг спрашиваете «почему она некрасивая»? Я не знаю. Жизнь ее так сложилась. Может ли получиться красивым ребенок, которого рожали 3 мужика коллективно?.. =)
avatar
ch5oh, Верно. Время начинает уменьшать волатильность. Поэтому тетту мы можем посчитать только за день и то примерно, так как день считаем неделимым. С каждым днем квадрат времени растет. И гамма растет вот мы на этом и собираем еще половину.
Дмитрий Новиков, распределение — частный случай вероятностного пространства, которое в свою очередь является человеческой моделью случайности. Как мы можем подходить к вероятностному пространству с «аршином»: больше-меньше, чем случайность?
avatar
А. Г., Частный случай вероятностного пространства, плотность распределения Гауса. А у нас оно отличается. Вот эти отличия и изучим.
ch5oh, если в любой момент времени (!) можно точно предсказать цену закрытия следующей минутки, то можно точно предсказать цену и через час, и через день, и через месяц, и через год и т.  д…
avatar
Дмитрий Новиков, сорри — я совсем запутался

Если вола исчезает, то рынок — это просто функция времени.
Если она еще и дифференцируемая, то ее прекрасно приближает последовательность сумм начальных членов ряда Тейлора.
При желании можно и Фурье приплести.
Зачем все эти греки то?

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, А греки нужны для броуновский процессов. А на них мю ни как не влияет. А с одним мю это просто экспонента. Я тут утрировал. Извините что запутал:)
Дмитрий Новиков, вот-вот

Без броуновского процесса с ненулевой дисперсией не будет динамики.
А как только появляется dW — тут же выясняется, что дифференцировать надо аккуратно. Просто манипуляций с греками не хватит — нельзя отдельно дифференцировать по dt и по dW.

Так что, даже без кружка, все равно давайте все вместе учиться считать правильно.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, Но не то что совсем динамики не будет. Там у нас еще Мю останется. Но это уже будет не рынок. Вернее типа рынок облигаций.
Дмитрий Новиков, все это пройдено 100500 раз

Давным давно, еще в 1996 г. я пытался строить приближения рядом Тейлора ценовых рядов (в целях прогнозирования будущей цены).
Идея проста — нет производной в непрерывной области, зато есть бесконечное число производных в дискретной области (если данные цены бесконечно доступны в прошлом).
Составляем последовательность сумм начальных членов ряда Тейлора — вуаля — наблюдаем чушь полную и несусветную.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, я пытался найти аппроксимацию цен в некотором временном окне из параметрического пространства полиномов. Хреновенько. Но если аппкоксимацмя полиномами не катит, о каких производных, о каком разложении в ряд тейлора  можно говорить? 
avatar
SergeyJu, не, ну формально то можно

Есть производные (дискретные) любого порядка — есть аппроксимация.
Полиномы для этого не обязательны — можно решить (линейное) уравнение для определения будущей цены, если известна первая и вторая производная (т.е. будущее на 1 шаг значение первой производной тоже примерно известно).

Это не вполне ряд Тейлора, конечно, но близко.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, производная — локальная характеристика, для многих процессов, типа цен, она не существует. В то же время, аппроксимация из параметрического ряда «хороших» функций (полиномы, вейвлеты, фурье и т. д. ) вполне себе существует. Даже для недифференцируемых функций. 
avatar
SergeyJu, полиномом n+1 степени можно точно аппроксимировать любые n точек. Только смысл?
avatar
А. Г., не надо N+1 точек аппроксимировать, надо все точки сразу. То есть, число точек должно быть многократно избыточным. Постейшие примеры — выборочное среднее, или линейная аппроксимация, или кубические сплайны дефекта один. Или, из другого класса — фильтр нижних частот и преобразование Гильберта. 
avatar
SergeyJu, ну число точек цен у нас всегда конечно, а значит сможем аппроксимировать многочленом соответствующей степени.
avatar
А. Г., =) а мы Вам свободу выбора степени полинома обрежем. Используем критерий AIC или BIC (или оба сразу).
avatar
ch5oh, идеологически — да, что-то вроде критерия Акаике. Только пожестче.
avatar
ch5oh, зачем себя ограничивать? Возможности человеческого мозга безграничны 
avatar
А. Г., Вы же понимаете прекрасно, что так делать нельзя. Число подгоняемых параметров должно быть много меньше, чем число измерений.
avatar
SergeyJu, понимаю, но в нейросетках столько параметров…
avatar
А. Г., я не торгую нейросети и ничего тут про них не писал. Вы знаете, что с RandomForest у нас прорыва не вышло. 
Впрочем, готов допустить, что RNN на рынке могут быть применены. Но не очень очевидным образом. При этом число параметров RNN должно быть много меньше, чем общий объем входных данных. 
avatar
Мальчик Buybuy, Так в том то и дело, что не цену надо моделировать. У вас цена 1/2 или вверх или вниз. Запросто в экселе генерится последовательность +1-1. А вот не что ее надо умножать? Вся проблематика в модели волы. А там уже и память и корреляции и уровни притяжения. То есть та самая предсказуемость.
Дмитрий Новиков, это да

А как Вы хотите получить модель волы?
Вывести для нее отдельный стохастический дифур?
Меняется она весьма странно, на детерминированную функцию точно непохожа.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, Естественно. Точно так же как мы делали из ценой. Но надо подумать о следующих параметрах. Среднее, притяжение к среднему и скорость этого притяжения, волатильность волы и корреляция с ценой. Естественно дальше возникнут вопросы изменения волы волы. Но задача такая. Наша модель должна быть похожа на настоящую волу. Будем пробовать. 

"Парабола параболическая"???

Строго говоря, это гипербола с двумя наклонными асимптотами.

 

avatar
походу этот ито чёткий клавишь был
Ха-ха:"… он получил степень доктора философии. То есть, тут не столько вопрос в математике, сколько в философии."
На Западе специалисты в естественных науках квалифицируютя по древней традиции (от греков) как натур-философы.
Так что тут вопрос вовсе не в философии, но именно в математике.
А вот с точки зрения более широкой, нежели математика, никакие естественно-научные методы не приемлемы к тем сферам человеческой деятельности, где не только существует свобода выбора, но сам характер этого выбора изменчив.
В отличие от статистической физики, где частицы не обладают свободой выбора.
avatar
Rostislav Kudryashov, Именно это я хотел подчеркнуть. Что математика не просто абстрактный раздел школьной программы, а инструмент познания окружающего мира, философия действительности. А значит рассуждать о мире мы можем в ее терминах. У нас так сложилось есть физики и лирики и между ними пропасть. Хотя в лирики больше математики чем в физике;)
Дмитрий Новиков, 

Несмотря на название, в настоящее время степень не имеет никакого практического отношения к философии (только историческое) и присуждается почти во всех научных областях, например: доктор философии по литературе или доктор философии по физике.

Такое положение связано с традициями, восходящими к временам средневековых университетов, стандартная структура которых обычно предполагала наличие факультетов философии, юриспруденции, теологии и медицины. Поэтому помимо степени доктора философии существуют и ограниченный ряд других докторских степеней того же ранга; врачам присуждается степень доктор медицины, юристам — доктор права, богословам — доктор богословия, а всем остальным — доктор философии.

ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B8
Rostislav Kudryashov, Вы удивитесь как быстро пропадает «свобода воли» и «свобода выбора» с увеличением размера «свободовольной толпы».
avatar
ch5oh, толпа на рынке не вполне толпа. Это толпа и полтора столпа. Думаю, что распределение капиталов паретообразное, поэтому толпу время от времени смывает цунами.
avatar

SergeyJu, в комменте скорее пояснял Ростиславу, что наличие свободы воли у участников исследования очень мало ограничивает применимость математики. Сейчас вон нобелевки сплошь и рядом дают за формальное описание как этих самых «свободных людей» надо ставить в стойло и извлекать из них деньги мирным и законным путем. С полной иллюзией, что потребители сделали «свободный и осознанный выбор». =)

avatar
Спасибо, это очень интересно. Меня правда заставляет изучать кучу еще не изведанного, но это хорошо. Будем ждать табличек.

avatar
А чего «огород городить» со стохастическим дифференцированием? Предполагаем, что  изменение логарифма цены за t тактов имеет нормальное распределение со средним нуль и дисперсией сигма. Выводим «справедливую цену» опциона как  средний выигрыш покупателя равен безрисковой ставке, а средний проигрыш продавца — ей же. В формуле безрисковой ставки (1+r)t заменяем на ert и получаем бесконечно дифференцируемую по t,r, сигма (не стохастически, а обычно) функцию, названную формулой Блэка-Шоулза. Зачем нам dW?
avatar
А. Г., Правильно. Сигму обнулили и у нас чистая экспонента. Пока мы будем покупать по цене продавца, все так и будет. Но стоит нам продать по цене покупателя, появится сигма:)
Дмитрий Новиков, причем здесь «цена продавца» и «цена покупателя», если речь идет о «справедливой цене», которая точно определена в условии? А если сигму обнулить, то только r и t останутся.
avatar
А. Г., Притом, что покупатель купит цена+1 тик, а продаст цена-1 тик. То есть спред возникает. +1-1*спред=вола. 
Дмитрий Новиков, «вола», она же сигма — это СКО приращения логарифма цены.  Причем здесь тики, которые точно не логнормальны и вообще являются реализацией с. в.?
avatar
А. Г., А тик у вас не приращение цены? Было 101 сделка, стало 100 сделка. Приращение -1. И так сто раз. Вот у вас СКО=1. 
Дмитрий Новиков, приращение, только какое отношение реализация случайной величины имеет к параметрам случайной величины?
avatar
А. Г., Что то я мысль потерял. Мы вроде о том, может ли акция быть как безрискововая ставка E^at. Если о параметрах, то параметр случайной величины считается отдельно. 
Дмитрий Новиков, точный параметр случайной величины может быть подсчитан только при известной функции распределения. А вопрос стоял о случайности приращений цен тех же акций, т. е. невозможности  точного прогноза даже их знака в будущем в любой (!) момент времени в настоящем. 
avatar
А. Г., Так мы знак предсказывать не будем. А функцию распределения мы знаем из прошлого. Знак это 1/2, а величина приращения это распределение, как вы заметили. 
Дмитрий Новиков, откуда мы знаем функцию распределения?
avatar
А. Г., Из свойства БА. Его же не вчера запустили. Берем приращения и строим плотность. Можно из СКО если остальные моменты известны. 
Дмитрий Новиков,  строя распределение по выборке, мы можем построить только выборочно распределение. Но что делать, если оно не похоже ни на одно безгранично делимое? Ведь в этом случае мы не можем его стохастически дифферинцировать по t.
avatar
А. Г., За 100 дней постройте 100 распределений, в разные периоды и найдите разницу. Даже распределение за день/100 сравните. 
Дмитрий Новиков,  да кучу разниц найду на разных отрезках по 100 дней. 
avatar
А. Г., Там не куча. Там три параметра Вола Эксцесс и Симметрия. Не мучайтесь. Квартальные улыбки обычно одинаковые. Но если хотите, посмотрите. 
Дмитрий Новиков, да там даже средние будут отличаться. Возьмите 2008-й и 2009-й.
avatar
А. Г., А зачем вам среднее. Среднее на волу ни как не влияет. У нас дисперсия относительно средней. Что в 2008 году волатильности не было? 
Дмитрий Новиков,  нестационарной среднее влияет на цену опциона, потому  что его пытаются «загнать» в волу при расчёте этой цены и тем самым допускают ошибку. 
avatar
А. Г., Дмитрию очевидно, что это нормальное распределение.
avatar
ch5oh, Нормальное, в смысле пацанское. Но скорее логнормальное. 

Дмитрий Новиков, =) ну, уж мы-то с Вами точно знаем, что надо смотреть именно приращение логарифмов. И даже недавние провокации Бориса нас не смогли поколебать.

 

А дальше мы расходимся разными тропами. Вы — в сверкающий мир блаженной лог-нормальности. =)

avatar
ch5oh, Конечно приращения. А что он провоцировал?
ch5oh, не просто нормальное, но ещё и стационарное.
avatar
А. Г., Достаточно стационарно, что бы рассматривать его как медленную константу. 
А. Г., да, точно. Мы же как те богатыри расходимся по трем разным дорогам.
Меня несет в темный лес ненормальных распределений на верную погибель. Вас — в нестационарную нормальность. Видимо, за богатством. А Дмитрия — в царские чертоги стационарного нормального распределения. К прекрасной невесте. =) или красоту не предлагали в комплекте?..
avatar
ch5oh, нестационарная нормальность ведёт к обобщенным гиперболическим распределениям, которые тоже не нормальны, да к тому же ещё и не безгранично делимы. Т. е. сигма*dW от них в модели не получишь. Точнее вторая величина не приведёт к линейности по t. 
avatar
Несколько раз перечитывал ваш топик, так называемые основы Ито, и так и не понял, при чем тут собственно Ито? Начал читать о лемме Ито, пришлось прочесть не мало литературы, чтобы понять, что я не понял в этом топике, но в итоге я так и не понял, где тут Ито? :)

Вы привели красивый пример дельта-хеджа, а Ито, насколько я понимаю, применяется для моделирования стахостических процессов. По сути используется броуновское движение, но т.к. оно не дифференцируется, меняем dWt^2 на dt и получаем процесс Ито, который уже дифференцируется.
avatar
Dmitryy, Ну вы глубоко копнули. Я Ито приплел, что бы обратить внимание на его докторскую степень по философии. И философию дифуров. И как бы в этих терминах объяснить природу явления. 
вы криптовалютчики совсем уже задрали своими формулами
гнать вас надо с лаба
От Лонга! Я тебя умоляю!, У вас криптовалюта по этим формулам торгуется.
Дмитрий Новиков, у нас ничё по формулам не торгуется
ибо инсайдеры сильны
и законодатели
и жулики

теги блога Дмитрий Новиков

....все тэги



UPDONW