Динамическая репликация опциона

Динамическая репликация опциона (эмуляция опциона) — инвестиционная стратегия, воссоздающая платежный профиль производного инструмента за счет динамического управления позицией по базовому активу.

К первой публикации на тему динамической репликации опциона относится статья Блэка Ф. и Скоулза М. (Black, F., Scholes, M., 1973), которые в одном из предложенных ими подходов рассматривали стоимость динамического хеджирования, как размер премии по опциону [1] — с одной стороны у них в модели была открыта позиция по опциону, а с другой стороны, данная позиция динамически хеджировалась позициями по базовому активу (т.е. за счет операций с БА эмулировалась противоположная позиция, противоположная открытой по опциону). В итоге, при выводе уравнения для оценки опции, рассматривался портфель (из опции и хеджа позицией по БА), прибыль/убыток которого не зависит от движения цены базового актива (но остается зависимость от времени, волатильности, страйка и процентной ставки).

Блэк и Скоулз исходили из ряда допущений, которые на практике не являются выполнимыми в реальном мире (см., например, Derman E, Taleb N.N., 2005). Например,

• Дискретность при управление позициями 
• Комиссионные 
• Пенальти по шортам 
• Невозможность (как правило) размещать ден. средства под безрисковую ставку 
• Контрагентские риски (риски поставки и/или расчетов) 
• Непостоянная процентная ставка (во времени)
• Непостоянная во времени волатильность 
• Улыбка волатильности 
• Реальная динамика БА отличается от идеального геометрического блуждания 

Тем не менее, на практике, репликация позволяет, пусть и с некоторой ошибкой, получить результат, сходный с результатом от операции с опционом.

Стратегия. 

1. Вычисляется объем позиции по базовому активу, который на небольших интервалах времени [3] и незначительных изменениях цены базового исходя из Δ оциона и оговоренного в нем объеме БА
2. При некоторых условиях осуществляется пересмотр позиции. Пересмотр позиции может быть привязан (требуется источник): 

• по времени (классический подход, наиболее часто используемый на практике, ошибка σ/(2N)², где N — число рехеджей 
• к дельте опции (также часто применяется практиками) 
• к цене БА (редко) 
• к цене опциона (крайне редко) 

Пример.

Файлик Excel (не содержит макросов и просматривается даже в MS Excel смотрелке - Скачать replica.xls ). Симулируется (Монте-Карло [4]) движение базового актива, считается теоретическая премия по европейскому  call-опциону и моделируется стратегия, дающая в итоге результат, который можно было бы получить от короткой позиции по данному контракту.

Условия симуляции: 250 раб дней в году, до экспирации call-опциона европейского стиля 100 рабочих дней. Объем, оговоренный в опционе, 100 акций. По акциям не выплачиваются дивиденды. Хеджирующий портфель по базовому активу пересматривается каждый рабочий день. Ставка процента, волатильность задается в годовых и не меняется в период «жизни» опциона. Волатильность без «улыбки». Процент, волатильность, цена актива на начало симуляции, страйк задаются пользователем.
Отличия от теории:

• Дискретность 
• Целое кол-во акций 
• Отсутствуют проценты по займу бумаг 
• Деньги от шортов не инвестируются 

Примечание: интересно «поиграть» со ставкой и страйком — в ряде случаев удается довольно точно воссоздать финальный «платеж» по опции, в ряде случаев наоборот. Страницы защищены от исправления данных в ячейках, тем не менее, у кого есть желание «побаловаться» в вычислениями и формулами пароль «123321» (без кавычек, разумеется).

Для новой симуляции пересчета результатов нажмите в MS Excel клавишу «F9».

Reference.

• Black, F. and Scholes, M., The pricing of options and corporateliabilities. J. Polit. Econ., 1973, 81, 637–654. 
• Derman E, Taleb N.N., The illusions of dynamic replication, Quantitative Finance, Vol. 5, No. 4, August 2005, 323–326 

Приложения.

• Пример: симуляция Монте-Карло процесса динамической репликации короткого call-опциона европейского стиля (файл MS Excel, скачать)

[1] Работы Black-Scholes-Merton, в отличие от основных подходов в большей степени касаются самой репликации, а не только одной лишь оценке опционов европейского стиля как таковой, как принято это часто утверждать в литературе. 
[2] В идеале (в теории) предполагается непрерывное во времени управление позицией. 
[3] В теории это делается непрерывно во времени.
[4] Данный метод позволяет, что называется на пальцах, продемонстрировать технологию репликации опциона с одной стороны. С другой стороны, это позволяет наиболее близко реализовать допущения из модели Блэка-Скоулза-Мёртона