Биномиальная модель ценообразования опционов

Биноминальная модель ценообразования предполагает построение траекторий переменный, лежащих в основе цены опциона, в определенные моменты времени (дискретная модель). Это предполагает построение биномиальной сетки (дерева) размерностью, определяемой числом шагов между моментом оценки и экспирации. Каждая вершина дерева (узел сеточки) представляет возможную цену базового актива в соответствующий момент времени.

Оценка осуществляется перебором в обратном порядке всех вершин биноминального ценового дерева, начиная с шага, соответствующего моменту эксспирации и заканчивая первой вершиной, соответствущюей по времени моменту оценки. Для каждого шага рассчитывается стоимость опциона на соответствующий момент времени.

Оценим опцион с возможностью раннего исполнения со следующими параметрами: r — безрисковый процент в единицу времени, v — сигма цены базового актива за единичный период времени, T — время до исполнения, K — страйк, S — цена базового актива в момент оценки опциона, ставка платежей* по базовому активу q.

Дискретная модель: N шагов длительностью T/N, t[0] — момент оценки, t[N] — момент экспирации.

Построим дерево цен (сетку цен). В момент времени t[0] цена равна S. В момент времени t[1] цена либо увеличивается, либо снижается. Таким образом, в момент времени t[1] получаем две вершины:

S[0,1] = S*u и S[1,1] = S/u,
где u=exp(v*sqrt(T/N))

На втором шаге, в момент времени t[2] получаем три вершины дерева:

S[0,2] = S[0,1]*u = S*u^2
S[1,2] = S[0,1]/u = S[1,1]*u = S*u/u = S
S[2,2] = S[1,1]/u = S/(u^2)

На третьем шаге, в момент времени t[3] получаем четыре вершины дерева:

S[0,3] = S[0,2]*u = S*u^3
S[1,3] = S[0,2]/u = S[1,2]*u = S*u
S[2,3] = S[1,2]/u = S[1,2]*u = S/u
S[3,3] = S[2,2]/u = S/u^3

… и так далее ...

В итоге для i-того шага, i=[0..N-1], имеем i+1 вершину дерева:

S[j,i] = S*u^(2*j-i),
где j = [0..i+1].

На основе сгенерированной сетки, в каждом ее узле оцениваем стоимость опциона. На N-м шаге — в момент экспирации — стоимость опциона определяется как его внутренняя стоимость:

C[j,N] = max{S[j,N]-K,0} — для call-опциона, и
P[j,N] = max{-S[j,N]+K,0} — для put-опциона.

Далее, оценивается стоимость опциона во всех предшествующих узлах сетки (дерева), начиная с шага N-1, и заканчивая шагом 0, соответствующего моменту оценивания опциона, на котором имеется одна вершина (узел сетки), и полученная для него оценка будет соответствовать оценке премии опциона.

Итак, для каждого предыдущего шага i (i = [0..N-1]), в каждом узле сетки j (j = [0..i+1]), стоимость будущих платежей по опциону определяется как средневзвешенный платеж по нему на i+1 шаге, где весовые коэффициенты определяются вероятностями и дисконт-фактором:

C[j,i] = (p*max{S[j,i+1] — K,0} + (1-p)*max{S[j+1,i+1] — K,0})*exp(-r*T/N) — для call-опциона, и
P[j,i] = (p*max{-S[j,i+1] + K,0} + (1-p)*max{-S[j+1,i+1] + K,0})*exp(-r*T/N) — для put-опциона, где

exp(-r*T/N) — дисконт-фактор,
p — вероятность повышения цены, определяемая** как:
p = (exp((r-q)*T/N)-1/u)/(u-1/u).

Полученные таким образом оценки соответствуют оценкам для европейского стиля опционов. Американский же стиль, предполагает возможность раннего исполнения. А досрочно исполнять опцион на i-м выгодно, если его внутренняя стоимость в соответствующей вершине больше стоимости дальнейшего удержания, то есть: 

если max{S[j,i] — K,0} > C[j,i] для колл опциона, и
если max{-S[j,i+1] + K,0} > P[j,i] для пут опциона.

Таким образом, в случае с опционом колл американского стиля имеем:

AC[j,i] = max{(p*max{S[j,i+1] — K,0} + (1-p)*max{S[j+1,i+1] — K,0})*exp(-r*T/N), max{S[j,i] — K,0}},

и для пут опциона:

PC[j,i] = max{(p*max{-S[j,i+1] + K,0} + (1-p)*max{-S[j+1,i+1] + K,0})*exp(-r*T/N), max{-S[j,i] + K,0}}.

В конечном итоге, на шаге 0, который соответствует моменту оценивания опциона, в единственной для этого шага вершине дерева будет получена приблизительная оценка премии по опциону американского стиля.

_________________________________________________
* для equity опциона q равно непрерывной ставке платежей по базовому активу (при соответствующих изменениях модель можно адаптировать и к дискретным платежам), а для опциона на фьючерс q = r
** что соответствует «биномиальному» варианту экономического Броуновского Движения

REFERENCE
Binomial options pricing model