Вопросы по волатильности портфеля...

02 мая 2019, 01:17
|
Логиненков Алексей

Коллеги, добрый день!

Постараюсь быть максимально кратким. Я провожу одно количественное исследование и у меня возникло два вопроса в отношении расчета волатильности портфеля и оценки его VaR. Оба вопроса носят математический характер и связаны с тем, что в качестве исходных данных используется логарифмическая доходность согласно распространенной практике таких исследований и предположению, что цены распределены логнормально.

1. Для расчета волатильности портфеля обычно используют следующие формулы:

$\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}a_i^2\sigma_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j>i}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{A^TVA},$

где $\sigma$ – волатильность портфеля;
$a_i$

– доля i-го актива;
$a_j$

– доля j-го актива;
$\sigma_i^2$ – дисперсия i-го актива;
$\sigma_{ij}$ – ковариация i-го актива c j-м активом;
$A^T$

– транспонированный вектор долей;
$V$

– ковариационная матрица;
$A$

– вектор долей.

Эти формулы корректно работают, если случайная величина (доходность портфеля) равна линейной комбинации:

$r=\sum\limits_{i=1}^{N}a_ir_i,$

где $r_i$

– средняя доходность i-го актива. В случае же использования логарифмических доходностей обычно для расчета волатильности применяют те же формулы, что и выше, хотя математически это не корректно. Разница несущественна в практических целях, но меня сейчас интересует теория. В случае логарифмических доходностей отдельных активов, общая доходность портфеля (также логарифмическая) будет равна не линейной комбинации, а следующему выражению:

$r=\ln(\sum\limits_{i=1}^{N}a_ie^{r_i}).$

Соответственно строго математически дисперсию (как и волатильность) данной величины некорректно считать по вышеприведенным формулам. Есть ли у кого-то идеи как правильно оценить дисперсию этой величины через ее составляющие? Как ее можно разложить в линейную комбинацию по аналогии с обычными доходностями?

2. Оцененная волатильность по корректной формуле из предыдущего вопроса (или просто волатильность одного актива, посчитанная на исторических данных с использование лог. доходностей) также будет выражена через логарифмическую доходность. Опять же по практике никто не переводит ее обратно в эффективную доходность. Хочу узнать мнение профессионалов насколько это корректно? Например, если мы считаем параметрический VaR в рублях и получили оценку волатильности, выраженную в логарифмических доходностях, то по идее же некорректно просто перемножить сумму инвестиций (руб.), эту волатильность и квантиль нормального распределения. Нужно же сначала получить волатильность, выраженную в эффективной доходности (ибо лог. доходность — номинальная): $e^\sigma-1$ . Корректны ли мои рассуждения на этот счет? Опять же в практических целях это все в пределах погрешности, но меня это все интересует с точки зрения теории.

700 | ★1

2 комментария

Eugene Logunov, функция корректная. Вы правильно написали, но если раскрыть скобки внутри, то:

В итоге получается та функция, что указана у меня.

Что касается первого вопроса, то мне как раз нужен не численный результат, а формула нахождения дисперсии через компоненты, т.е. что-то типа того, что Вы написали про разложение Тейлора, но чтобы в итоге можно было получить формулу типа стандартной через ковариационную матрицу с какими-нибудь модификациями. Я уже сказал, что вопрос чисто теоретический. А так численно можно получить результат вообще без всяких сложностей, методов Монте-Карло и прочего. Ведь дисперсию можно посчитать в лоб, не через компоненты, а по стандартной формуле, если мы построим массив со значениями самой исследуемой величины:

В данном случае j - это день, за который рассчитывается логарифмическая доходность портфеля в целом. Далее можно применить обычную формулу дисперсии к величине X.

По поводу ответа на второй вопрос, спасибо!