Платформа OptionSmile Часть 4.Доверительные интервалы справедливой стоимости опционов

Добрый день.

Это четвертый пост о возможностях системы OptionSmile.

Предыдущие посты:

• Анонс системы
• Часть 1. Методика оценки справедливой стоимости опционов
• Часть 2. Расчет исторических рыночных цен
• Часть 3. Фильтрация рыночных режимов

В первой части я рассказал, как система рассчитывает справедливые цены опционов. Рекомендую еще раз вернуться, чтобы понятнее была логика, представленная ниже.

Сначала немного теории по традиции.

Итак, мы получили формулу для расчета справедливой стоимости опциона, как произведение вероятности экспирации «в деньгах» (ITM) на ожидаемую стоимость опциона в случае такой экспирации, приведенное к текущему периоду:
                         
Важный момент здесь, что таким образом у нас получается всего одна единственная цифра справедливой стоимости -  FV. Как ни крути, это все же статистическая оценка на базе исторических данных. Даже с применением фильтрации режимов рынка, это не гарантирует нам повторения точно такого же распределения баз.актива в будущем, а значит и точно такой реальной справедливой стоимости опциона.

Статистки называют это point estimate, т.е. оценка параметра генеральной совокупности в виде одной точки. Они же, для снятия с себя ответственности за то, что в будущем показатель именно таким никогда не будет, придумали интервальную оценку. Это всем известные доверительные интервалы (confidence intervals), когда вместо того, чтобы сказать, что некий показатель оценивается значением X, утверждают, что он попадет в интервал {X_min, X_max} с некоей вероятностью, скажем 90%. Точнее даже так: сначала выбирают уровень вероятности, а потом оценивают границы, в которые показатель попадет с этой вероятностью.

Если нам нужна интервальная оценка для некоего среднего значения (вроде средней доходности баз.актива), то самый простой путь – это расчет стандартной ошибки (standard error -  SE) делением стандартного отклонения выборки на квадратный корень из ее размера. Далее из заданной вероятности, скажем 90% (между 5% и 95%), определяем сколько это стандартных нормальных отклонений (1.645), получаем предельную ошибку выборки (margin> of error — ME). Считаем доверительный интервал как среднее плюс-минус ME. При 90% уровне это: среднее ± 1. 645*SE. Я здесь не буду подробно останавливаться на этом, вполне себе стандартном подходе. Можно почитать в любом вводном учебнике по статистике.

Упомяну лишь, что часто инвесторы редко вчитываются в отчеты социологов и не смотрят на предельную ошибку выборки, когда читают про прогнозы выборов и референдумов. Хорошо помню в июне 2016 года состояние рынка перед Brexit-ом. За несколько дней до референдума рынок почему-то решил, что дело решенное и сторонники brexit проиграют, началась эйфория, рынок пошел «на север». Хотя разница между bremain и brexit была 1-2%, что вполне себе в пределах margin of error. Социологи публиковали и эту оценку тоже, но журналисты «забывали» включать ее в свои статьи, публикуя просто соотношение голосов, где bremain побеждал. Что было потом известно. Лично я был вне рынка в эти дни.

Аналогичная история с победой Трампа. Разница его с Клинтон была тоже в пределах margin of error, но для всех его победа почему-то стала шоком. В общем, нужно учить матчасть.  

Но вернемся к опционам. Итак, мы можем простой формулой посчитать стандартную ошибку среднего значения (для нас это EV_itm), и для пропорций тоже (это для доверительного интервала вероятности экспирации ITM — P_itm). Но есть две проблемы:

• для центральной оценки FV мы перемножили P_itm и EV_itm, но для «краев» в виде границ доверительного интервала так делать уже нельзя, т.к. FV — это уже другая случайная переменная, не отражающая ни пропорцию, ни центральный момент
• расчет стандартной ошибки среднего хорош, когда у нас распределение хотя бы близко напоминает нормальное, чего точно не скажешь про EV_itm, особенно для OTM страйков (там ближе распределение Парето)

Для таких сложных случаев есть другой подход – ресемплинг (resampling), когда из имеющихся данные мы много раз случайным образом делаем выборки, и по каждой выборке считаем свои статистики.

В нашей платформе мы применяем частный случай ресемплинга, который называется бутстрэппинг (bootstrapping). Имея отфильтрованную историю приращений баз.актива, мы из нее получаем много (скажем, 10000) случайных выборок, для каждой из которых считаем FV контракта с заданной денежностью и экспирацией (DТE):

F_M/DTE = {FV₁, FV2, FV3 … FV_{10 000}}

Этот массив справедливых оценок тоже теперь можно анализировать с точки зрения их распределения. При достаточном количестве выборок это распределение будет близко к нормальному (Центральная Предельная Теорема в действии). Из него уже легко можно получить любые квантили и доверительные интервалы. Вот такие, например:

Горизонтально лежащая фигура под графиком – это, как называемый box-and-whiskers plot. По-русски его еще переводят как «коробка и усы», я буду называть просто бокс-плот. В само тело бокса попадает половина распределения вокруг медианы (от 25% до 75%), в пределы «усов» — 90% (от 5% до 95%). Точками обозначены минимумы и максимумы, между ними — 100% вероятности.

Для каждой из этих выборок можно посчитать справедливую цену для опциона с любым страйком (денежностью), а значит и получить бокс-плот для любой денежности. Что система OptionSmile и делает. В итоге мы имеем вот такой «усатый» график:

На нем видим бокс-плоты для каждой справедливой цены. Из него видно, в какие интервалы попадет наша FV в будущем с заданной вероятностью.

На практике вся эта красота нужна для оценки существенности рыночного mispricing’а, т.е. насколько существенно рынок переоценивает или недооценивает опционы. Возьмем, например, все те же наши 2-недельные путы на SPY.

На первом графике ниже показан рынок с индикатором MACD Histogram в диапазоне вокруг нуля: от -0.2% до 0.2%. Это рынок без явного ускорения в какую-либо сторону. Видно, что путы здесь, хотя и переоценены рынком, но не существенно, т.к. рыночные цены попадают в бокс-плоты справедливых, особенно ближе к центральным страйкам.

Далее показан ускоряющийся uptrend (MACD Histogram > 0.2%), и видно, насколько существенно рынок переоценивает опционы. Рыночные цены не касаются даже усов наших бокс-плотов, а на дальних страйках они даже больше минимальных справедливых значений. Это значит, что там вероятность получить реальную справедливую цену больше рыночной стремится у нулю. В этом рыночном режиме неэффективность очень существенная, и можно смело открывать позицию, продавать эти путы.

Эти графики можно прочитать и по-другому: с какой вероятностью справедливая цена путов будет выше рыночной, т.е. их продажа будет убыточной. Это та вероятность, где график рыночных цен (реальных или гипотетических), будет пересекать бокс-плот. Очевидно, что в первом режиме рынка она довольно высокая: рыночные цены пересекают не только «усы», но и тела боксов. Во втором, соответственно, низкая, а на 95-й денежности совсем нулевая.

В bootstrap-процедуре есть важный параметр – размер одной выборки — Sample Size. В упрощенном варианте он равен размеру исторической выборке: отфильтровали, скажем, 300 дней из истории, и делаем из них 300 случайных выборок, строим бокс-плоты. Но это будет слишком оптимистичный прогноз распределения FV, т.к. будет означать, что мы как бы готовы в будущем 300 раз повторить этот эксперимент (скажем, продать путы). Ведь только тогда наши вероятности реализуются. Но мы не можем ждать 300 сделок, да еще и с этими параметрами и в этом режиме рынка. Тут лет 10 может уйти, пока вероятности проявят себя.

Здесь у нас задача, обратная социологической, где берут небольшую выборку респондентов и на базе их ответов оценивают мнение всего населения. У нас, наоборот, есть некоторая выборка из прошлого, и нам нужно оценить вероятность суммарной прибыли по нашим сделкам в будущем, но не сильно далеком. Чем больше размер одной выборки, тем меньше разброс и короче «усы», но тем дольше ждать «справедливости» в оценке опционов. И наоборот.

Вопрос с Sample Size очень непростой, и простого решения мне пока найти не удалось. По умолчанию в платформе стоит 100, но можно менять в панели управления. Сколько ставить – в видео-презентации на этой секунде я предложил вариант на основе ожидаемого количества сделок. Думаю, можно придумать и другие подходы.  

Итак, система OptionSmile рассчитывает не просто справедливую стоимость опционов, но дает оценку диапазона, в который она попадет с заданной вероятностью. Это позволяет оценить существенность, с которой рыночные котировки пере- или недооценены рынком.

По-прежнему, если вам интересен такой подход, регистрируйтесь в системе (можно одним кликом через соц.сети), присоединяйтесь в Facebook.

Всем удачи!
Денис