Куда уходят деньги. Теория вероятности по мотивам https://smart-lab.ru/blog/525822.php

По последнему обсуждению топика ch5oh 

Делаю для того, что  бы почтенная публика СЛ не выпадала из темы увидев диф уровнения и всякие страшности. Давайте пройдем вместе по всем этим закоулкам через законы Архимада, а не dS/dT.

Когда мы говорим о процессах вероятностных, мы пользуемся всем опытом человечества накопленный за века. И другого опыта у нас нет. Не изучать этот опыт себе дороже. Не зная простых истин, вы становитесь легкой добычей рынка, который, вы уж поверьте, базируется на этом опыте.

Итак, цена. Движение цены следует железобетонному закону математики. Как бы вы не искали фигуры, тренды и пр, кроме математики там ни чего нет. Закон номер один. Закон «пьяного матриса». Автор закона Энштейн и его друзья. Коротко звучит так. Если длинна шага матроса 1 метр, то, что бы пройти 5 метров в одном направлении, ему надо сделать 25 шагов. И это проверено. Для цены аналогично. Что бы цена изменилась на 5% надо 25 двжений по 1%. Одно движение один день. Поэтому относительное движение цены описывается просто формулой y=x^2. Упали на 10%, поднялись на 10% 0,1*0,1=0,01, 1% изменения. Тут все просто. Но. Как и пьяный матрос, цена может пойти на север или на юг. То есть два состояния, орел/решка. Поэтому, полученный результат мы разделим на 2. Y=(X^2)/2 и для нагладности умножим на -1, что бы ветви параболы направить вниз. Вы сами можете это сделать в экселе, поэтому картинок не будет.

На уровне этих рассуждений мы получаем одну не точность. Получается, что если матрос или цена будет очень долго топать, то дотопает до северного полюса. Поэтому надо ввести ограничение. И это ограничение есть. Красивая инженерная задача, как говорит bstone. Это экспонента. Это как число ПИ, только 2,72. И она работает всюду от ядерной реакции до банковских вкладов, включая понимание усталости пьяного матроса идти дальше. Поэтому, мы возьмем экспоненту нашей параболы Y=EXP(-(X^2)/2.  Наши предки посчитали, что максимальное значение при x от 0 до 1 =1/(2Пи)^0.5. А нам надо, что бы Y был от 0 до 1. Для этого мы разделим нашу экспоненциальную параболу на это число. И у нас получается то, что в простонародии называется функцией. Y=1/(2Пи)^0.5*exp(-(X^2)/2.  Ее называют функцией стандартного нормального распределения или функцией Гауса, функцией вероятности, функцией ошибок и т.д. Это как число ПИ. Есть много способов измерить площадь круга, но лучше через Пи.

Какой смысл этой функции. От 0 до 1 мы можем ассоциировать  это с процентами. Теперь, в процентах, мы можем оценивать шансы матроса дойти до северного полиса. Появились ограничения, и ветви параболы не растут до бесконечности. И эту функцию мы расположим по оси Y.

По Х мы отложим шаги матроса или средние изменение цены за шаг времени Т. Вы уже обратили внимание, что шаг матроса 1 метр слишком идеально. Поэтому S^2=среднемуS^2*T(время или кол шагов). Ну и что бы от квадратов избавится S=Scр*Т^0.5. Ось Х у нас будет линейна, мы откладываем на ней S, она же сигма и меняя сигму строим на пересечении Х и У график дельты.

Подвох заключается в том, что в природе нет ни чего круглого. Круглые вещи это продукт человеческой фантазии. Все или приплюснуто или растянуто. Даже дураков круглых не бывает. Тогда ось X у нас становится не линейной. А если она не линейна, как наша жизнь, то она квадратична или какая ни будь другая степень.

Практически мы попадаем в ситуацию, когда выпустили «пьяного матроса», что местность у нас не ровная. И нам надо описать эту местность с точки зрения поведения матроса. И как это сделать? Запустить 1000 пьяных матросов и рассчитать, что будет с 1001. А для цен взять распределение за время Т и посмотреть, на сколько оно кривое, относительно нашего идеального мира. В итоге, в самом примитивном случае, мы получим, что ось Х это тоже функция =az^2+bz+c. Или улыбка волатильности. И лежит она по оси Х. Тогда, мы идем в начало координат, где Y 0,001. И вероятность 0,001, по за счет того, что Х у нас там 0,2 цена данного события не 0,001. А левая нога дельты задрана сильнее. 

Все расчеты ДХ и опционов сводятся к простому. Вы берете рынок, строите квадратный трехчлен или любую гнутость, так что бы он попадал между бид и аск и снимаете параметр сигмы с этой кривой. Подставляете в d1 по БШ и в N(d1) получаете число фьючерсов, которое вам надо для нейтрального положения. Вы можете не соглашаться с рынком и построить свою улыбку. Биржа строит свою улыбку. Но если ваша улыбка сильно отличается, то у вас цены опционов должны тоже отличаться. Вы можете думать, что завтра вола вырастит. Поднимаете улыбку и автоматом покупаете все опционы ниже. Но если вы так думаете, то и все так думают. Поэтому люфт там не большой. И если у вас дельта ушла от рынка на 3%, то что то не так.

Если интересно….