Блог им. Yourmom

ЗАДАЧА ОБ ИГРОКЕ, КОТОРОГО НЕЛЬЗЯ ВЫГНАТЬ ИЗ КАЗИНО

Продолжаем публикацию цикла статей Виктора Аргонова о теории вероятностей и ее использованию в области финансов. Сегодня поговорим о казино и о том, почему богатые становятся еще богаче.

Задача о блуждании пьяницы возле бара — задача смешная и удобная для иллюстрации такой важной математической абстракции как случайное блуждание точки по прямой. Но с давних времён движение пьяных волновало людей меньше, чем движение капиталов. Именно финансовые задачи были исторически одними из первых в теории вероятностей. Например, в ещё 1650-х годах знаменитые учёные Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс начали исследовать так называемую задачу о разорении игроков. Она имеет много разных формулировок, но мы сосредоточимся на одной из них — особенно парадоксальной.

Игрок покупает у казино M фишек, каждая из которых стоит доллар (деньги, заплаченные за фишки — его плата за участие в игре). Раз в минуту крупье бросает монету. Когда она падает решкой, он забирает одну из фишек игрока. Когда орлом — даёт игроку дополнительную фишку. Число фишек у казино не ограничено, так что разориться казино не может. Зато игрок — может. Игра идёт до тех пор, пока игрок не потратит все фишки. Таким образом, выиграть деньги он не может. Это игра “в одни ворота”. Но пока она идёт, игрок имеет право бесплатно пить, есть, общаться с другими игроками и как-то иначе развлекаться за счёт казино (ему не обязательно присутствовать рядом с крупье, который всё делает честно).

Image of happy girl looking at her glass while young man pouring cocktail into it with friends near by

Зададим четыре вопроса.

  • Какова вероятность разорения игрока после N ходов?
  • Каким будет медианное время игры?
  • Каким будет среднее время игры?
  • Стоит ли на практике играть в такую игру и за какую “входную плату”?

Эта задача почти совпадает с прошлой задачей о пьяницах. Один бросок монеты аналогичен одному шагу. Увеличение или уменьшение числа фишек аналогично движению взад и вперёд. А разорение аналогично возвращению в бар. Поэтому вероятность разорения игрока падает с ростом N по такому же степенному закону, как и вероятность возврата пьяницы. Здесь тоже будут аномально затянувшиеся партии (полёты Леви), из-за которых

среднее время разорения игрока бесконечно. Единственное отличие состоит в том, что игрок стартует не с нуля фишек, а с M. Поэтому медианное время игры теперь другое: оно примерно пропорционально M в квадрате.

Что это значит на практике?


10000 нищих разоряют казино

Для начала рассмотрим простейший случай: M=1. В казино заходит нищий с 1 долларом. Теперь задача максимально близка к задаче о пьяницах. Медианное время составит лишь 1 ход (с вероятностью ½ на первом же ходе игрок получит решку). Но среднее ожидаемое время игры, согласно формулам, равно бесконечности. Чем это грозит для казино?

Если в казино придёт не один и не два нищих, а 100, 1000 и больше, то примерно половина из них “отсекутся” на первом ходу, но среди оставшихся найдутся “удачливые”, которые представляют для казино немалую угрозу. Подобно тому, как раньше среди пьяниц оказывался некий процент “авантюристов”, которые надолго уходили от бара, так и теперь среди игроков есть некий процент “удачливых”, игра которых может затянуться на сутки, месяцы и годы (длинные полёты Леви).

2

Число “удачливых” будет примерно таким же, как и число “авантюристов” в задаче о пьяницах. Достаточно взглянуть на графики. С увеличением N доля игроков, оставшихся в казино, обратно пропорциональна корню из N. Каждый десятый игрок остаётся в игре примерно до сотого хода, каждый сотый — до десятитысячного, а каждый тысячный — до миллионного!

Это значит, что если в казино придёт 1000 нищих с 1 долларом, то из них 1-2 человека “поселятся” в казино на несколько лет! А если придёт 10000 нищих, то среди них может найтись человек, который получит право на сотни лет бесплатных развлечений! И это при том, что для большинства остальных участников игра по-прежнему продлится порядка минуты.

Эта задача наглядно показывает, насколько осторожно надо себя вести организаторам азартных игр. Далеко не всегда прибыли и убытки можно оценить “на глазок”. Если задача о блуждании пьяниц была шуточной, то в казино действительно можно реализовать игру строго по таким правилам, без отклонений от математической модели. И будто бы пустяковая игра, в которой все козыри на стороне казино, может легко разорить его.

 

Один игрок с 10 000 долларов разоряет казино

При M>1 ситуация для казино может оказаться ещё хуже: теперь игрокам даже не потребуется большого числа партий.

Медианное время игры равно M в квадрате. То есть оно зависит от начального капитала игрока так же, как и время игры самого удачливого нищего — от числа нищих (и их суммарного капитала). И это не просто совпадение, здесь есть глубинная связь, о которой мы поговорим ниже. Но сначала оценим прогнозы для игры при разных M.

Если в казино придут два друга и каждый поставит по 10 долларов, то хотя бы один из них, скорее всего, “погуляет” за счёт казино более полутора часов (медианное время игры — 100 минут). А если поставят по 100 долларов — то оба с высокой вероятностью смогут круглые сутки развлекаться примерно месяц. 10000 же долларов будет достаточно, чтобы “поселиться” казино на сотни лет (!).

 

Стартовый капитал имеет значение

Нетрудно понять, почему результаты “удачливых” нищих так похожи на результаты людей, которые изначально пришли с деньгами. “Удачливые” — это те, кому на каком-то этапе игры удалось благодаря случайным орлам “сколотить” капитал, который в дальнейшем трудно разорить. Чем выше человек поднялся на случайных орлах, тем труднее его “спустить обратно на землю”. Непропорционально труднее.

Вспомним, что в задаче о пьяницах среднее отклонение траектории от начального положения пропорционально корню из её продолжительности. Пьяница, который сделал 100 шагов, скорее всего, находится где-то в 10 шагах от бара. А тот, кто сделал 10000 шагов — в 100 шагах. Верно и обратное: если пьяница находится в 10 шагах от бара, то, чтобы вернутся в бар, ему потребуется порядка 100 шагов (таким будет медианное время возврата). А если находится в 100 шагах — то 10000 шагов. Аналогично, если в ходе игры нищему посчастливилось “поймать” на 9 орлов больше, чем решек (и получить 10 фишек), то его дальнейшая игра не будет отличаться от игры того, кто сразу купил 10 фишек. Для обоих медианное время игры составит 100 минут. А тот, кто случайно взял 100 фишек, дальше будет играть порядка 10000 минут.

Этот вывод из теории игр имеет далеко идущие последствия. Он объясняет экономическое неравенство в человеческом обществе и говорит, как важен “запас прочности” компаниям. Компания или отдельный богач, однажды сколотившие большой капитал, зачастую могут сохранять его столетиями, тогда как мелкие стартапы появляются и исчезают с огромной скоростью. И эти рассуждения имеют непосредственное отношение к динамике котировок акций, о которой мы расскажем в следующей части.

★51
мне понравилось
avatar

mihAnik

То есть, на биржу надо заходить смело с большой суммой, распределять её малыми частями по большому количеству эмитентов — и можно столетиями не вылетать.
avatar

Wasiliew Wasilij

пишите ещё
avatar

Look De

Разница однако в том, что один чел с 10 тыс долларов не выпьет и не съест столько, стоколько 10'000 нищих с 1 долларом.
avatar

Макс

Макс, за сто лет один съест и выпьет много, а из 10 000 нищих останется за сто лет точно также 1 чел — в этом смысл статьи;)
Wasiliew Wasilij, зато первое время их будет сильно больше чем один)
avatar

Макс

Макс, вопрос в убытках казино, а не в количестве поевших. Казино продаёт напитки не по себестоимости.
т.е. пост это доказательство? или есть отдельное доказательство этой теории?
avatar

SMA

SMA, Весь пост как и теория лишь предположение. Убивается достаточно просто — делая ставку, каждый игрок получает 50\50 и соответственно можно предположить что выбывает половина после первого хода. Но блин… в реальности это вообще не так. В реальности может выбыть как 1\3, так и 2\3. А если два раза по 2\3, то как в дальнейшем селить игроков пожизненно в казино?:))...

Глупая задачка, нифига не оценивает вероятности:))
ladomirov, хз, статистика нужна, т.е. многочисленное моделирование со статистическим перевесом в ту или иную сторону, для опровержения или доказательства.
avatar

SMA

SMA, Я же Вам уже пытался прикинуть куда можно статистику засунуть:)) Статистика подразумевает работу с вероятностями которые она желает распределить по какой-то оценочной плоскости. Типа равномерно… А жизнь подобной равномерности не даёт нифига. Слышали про «дисперсию» наверняка? Как Вы этот параметр введёте в предложенное ТС уравнение?:))
ladomirov,  не совсем понимаю Вас :)  В ТС есть такое понятие как просадка — это и есть дисперсия. Дисперсия это отклонение от среднего. Что тут не так?
avatar

SMA

SMA, Да, всё так, кроме очевидных косяков:) Первое, это что у поля дисперсии есть плотность и она распределяется не равномерно. А в задачке у автора сказано, что после каждого хода остаётся в игре примерно половина… То есть нам предлагаю ситуацию в которой шансы распределятся всегда 50\50. Если интересно… прочтите текст ещё раз более внимательно.

И видимо что автор, что ТС как бэ не попадали на рынке в ситуации с несколькими проигрышами подряд...

Теперь о самой просадке. В  условиях задачки так же сказано, что речь идёт о подбрасывании монетки. Теперь прикидываем, без табличек, тупо циферками: На первом ходу стартовало 100 человек, соответственно шанс вылететь или остаться это те же 50\50, но… Монетку нужно подбросить 100 раз для каждого участника… и вот здесь мы как раз и попадаем на поле дисперсии с его неравномерной плотностью… Ок, давайте представим, 3\4 получили по доллару выиграв. Остаётся 75 человек на второй ход с 2$. Второй ход, крупье подбрасывает монетку и что… у поля дисперсии плотность сохранилась? Или изменилась? Допустим ещё 35 человек получает по доллару у остальных 40 снова по единице. Итого 35 чел с 3$ и 40 с 1$ к моменту завершения второго хода...

Ничего знакомого с этой картинкой на рынке не находите?:) А ведь ещё, мы без зазрения совести выбросили человеческий фактор, которому не достаточно зарабатывать по баксу...

Как только люди выкидывают из рынка психологическую составляющую со всеми подобными расчётами происходит какая-то бяда, прям:)) На бумажке всё красиво и гладко, а по жизни чо-то как-то не работает…
спасибо, очень интересно
avatar

gupmors

Пытаюсь понять, почему казино разоряется, если в нем проигрывается over 99% из 10000 нищих. Т.е. реально ~9900$ казино поднимает, а кормит лишь десяток-сто статистических аномалий. 
avatar

alpet

alpet, тут же all inclusive, а не выигрыш рулит. Чувака поселяют в казино, пока он не проиграет — это казино надо?!
Очень интересно, спасибо. Ждем продолжения :)
avatar

parabellum3301

Не совсем так, в этом примере величина ставки фиксированна и естественно для нищебродов-это пан или пропал, а для людей с деньгами нет.Но на бирже можно объем позиции регулировать и прекрасно себя чувствовать со 100 000 руб и быстро слить 1 000 000 $.
интересное чтиво 
avatar

amigo703

Описана обыкновенная схема Бернулли. Ответы на все 4 вопроса можно выразить в виде формул от M и N. А быстро вычислить хорошие оценки для ответов можно используя замену распределения Бернулли на нормальное.
avatar

MS


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UPDONW