Зависимость IV от БА

Волатильность возрастает при снижении базового актива? Вы уверены в этом? В мае этого года Олег Мубаракшин опубликовал статью Returns vs Volatility на эту тему, где изучал данный вопрос. На тот момент, у меня уже были аналогичные расчеты. С подходом и идеями  Олега я не был согласен. Тем не менее, за отсутствием времени отложил свои возражения на потом. Сейчас я представлю свою точку зрения на этот вопрос.
 
Когда мы анализируем зависимость волатильности от БА, возникает соблазн сделать это в виде регрессии. В качестве зависимой переменной кажется логичным взять индекс волатильности или волатильность центрального страйка (IV(0)) в виде ряда чисел. Таким способом можно получить неточную зависимость и сделать неверные выводы. Я сейчас говорю не о расчетах Олега – возможно, он все сделал правильно – я говорю о своих ошибках в начале изучения этой темы.
 
Пусть, например, БА пошел вниз на один страйк, а улыбка не изменилась. Центральный страйк теперь другой, его волатильность выше. Разность текущей IV(0) и предыдущей положительна. Индекс волатильности в данной ситуации также вырастет. Можно сделать неправильный вывод, что волатильность растет при снижении БА. Но волатильность ни одного страйка не изменилась! Я решил проблему, фиксируя центральный и другие страйки на каждом шаге времени. При таком подходе можно четко увидеть рост или снижение волатильности конкретного страйка.
 

Проведем регрессию волатильности страйков под номерами {-3..3} на относительное приращение цены фьючерса, равное f(i)/f(i-1) — 1. Свободный член в регрессии оставляем, т.к. в рассматриваемом периоде волатильность снижалась и этот фактор желательно исключить. Период – с  июня 2010  г. по май 2013г. Квартальные опционы. Выбирая данные для анализа, я не исключал прыжки волатильности в августе-октябре 2011г. Возможно, эти дни следует исключить, т.к. их вклад в ошибку и влияние на регрессию слишком высоки. Тем не менее, убирая дни экстремальных прыжков, мы получим аналогичные выводы в итоге.
 
 
 
Как мы видим, положительную зависимость волатильности от БА демонстрируют страйки слева от центра {-3, -2 }.  Для этих страйков при снижении цены базового актива, волатильность также снижается. Для остальных страйков зависимость положительна, хотя для страйка -1 зависимость практически отсутствует. 


Отрицательная связь волатильности путов и БА понятна. Вероятно виной здесь нелинейная (квадратичная ?, троичная?, экспоненциальная??) форма улыбки слева от центра. При снижении БА в путах борются два эффекта: скольжение волатильности вниз по улыбке и общий рост волатильности в связи с возрастанием рисков и общим подъемом улыбки. Для страйков {-3, -2}  первый эффект оказывается сильнее, т.к. наклон улыбки выше. У меня нет сомнений, что и для более дальних страйков слева картина останется похожей — их волатильность при снижении БА будет чаще снижаться, чем расти. 

Для страйков справа, при снижении БА, возникает эффект скольжения вверх по улыбке, что усиливает второй эффект общего подъема улыбки вверх. Поэтому волатильность коллов при падении БА чаще растет, чем падает. Регрессия не может точно предсказать поведение волатильности в каждой конкретной ситуации. Расчеты говорят нам лишь о том, что происходит в большинстве случаев. 

Посмотрим что происходит вблизи экспирации, где улыбка сильнее стремится вверх.  Построим регресии для периодов, включающих только десять дней до экспирации квартальных опционов (да! поленился для месячных посчитать ))) )
 
  

Мы видим, что теперь положительная зависимость волатильности путов от БА стала гораздо более выраженной. Это заметно и по коэффициентам регрессии и по t-статистикам. Очевидно, это связано с усилением наклона улыбки. Волатильность центрального страйка теперь практически не зависит от БА. Связь волатильности коллов и БА также сильно выражена и отрицательна, что связано с положительным наклоном улыбки справа от центра. 


Выводы:
Характер зависимости волатильности страйка от динамики БА вытекает из наклона улыбки. Для страйков с отрицательным наклоном улыбки, как правило, волатильность положительно связана с БА.  Для страйков с положительным наклоном улыбки, зависимость, как правило, отрицательна. Чем круче наклон улыбки, тем зависимость выражена сильнее.

Читайте также другие мои статьи про опционы:
Рисуем улыбку с помощью дельта-хеджа,
Улыбка недельных опционов,
Толстые хвосты и эмпирические распределения. Продолжение,
Толстые хвосты и эмпирические распределения.


 P.S. Заинтересован в работе, связанной с опционами. Пишите в личку.