Применение критерия Келли

Написание данной статьи меня побудила недавняя статья на смартлабе «Зачем трейдеру статистика? Критерий Келли и оптимальное плечо», где с моей точки зрения весьма сумбурно описан расчет критерия Келли, что затрудняет практическое использование этих знаний, поэтому я решил устранить этот пробел. Статью я разобью на две логические части: математическая и практическая. Если вы не владах с математикой, сразу пропускайте первую часть, не мучайте себя. Сразу скажу, что формулы выводил сам, а не брал из какого-нибудь учебника, надеюсь я нигде не напортачил.

Итак, основная проблема критерия Келли состоит в том, что он выводился для блекджека, а не для биржевой торговли. В блекджеке фактически фиксируется проигрыш и выигрыш, поэтому всё легко считается. Но в биржевой торговле нет такой роскоши, стопы проскальзывают или их и вовсе нет, профит заранее не известен, поэтому мало кто применяет критерий Келли именно на бирже. Ниже будет выведена простая формула которая устраняет этот недостаток.

Все мечтают чтобы их счёт рос экспоненциально, сложный процент это позволяет. Показатель степени экспоненты можно получить как усреднение из ваших сделок:

где
a — степень экспоненты
x1, x2,… — величина выигрыша или проигрыша в долях от вашего капитала
p1, p2,… — вероятности получения выигрыша или проигрыша

Сделок много и вместо того чтобы считать бесконечную сумму, воспользуемся интегралом:

где
a — степень экспоненты
x — величина выигрыша или проигрыша в долях от вашего капитала
P(x) — функция распределения вероятностей выигрыша или проигрыша в зависимости от величины x
f — искомый множитель, который показывает во сколько раз нужно увеличить или уменьшить исходные выигрыши и проигрыши чтобы счет оптимально рос

Разложим логарифм в ряд Тейлора:


Продифференцируем по f и приравняем к нулю поскольку ищем максимум:


Отсюда следует равенство:


И вуаля искомое значение f,  именно эту простую формулу мы и искали:

Фактически для получения оптимального значения нужно посчитать среднее значение x деленное на среднее значения квадрата x.

Математическая часть окончена, начинается практическая часть.

Итак, открывайте свой дневник сделок, вы же ведете его, не так ли? Открывайте, открывайте!

Допустим упрощённо у вас так:




Но нас интересуют не количество рублей, долларов или пунктов, а значение выраженное в долях от капитала:

Итак x, мы нашли. Осталось посчитать по формуле используя данные последнего столбца:




Получили f = 5.85, но что это означает в практическом смысле? Это не плечо, и не критерий Келли, это оптимальный множитель объема ваших сделок. То есть в данном примере следовало бы увеличить объем торговли в 5 раз, вот таким образом:

Но не обольщайтесь, скорее всего посчитав свою таблицу сделок вы вряд ли увидите столь большой множитель. Это всего лишь пример, чтобы понять куда какие цифры подставлять. Многие пишут формулу, но забывают объяснить что туда подставлять, я решил избежать этой ошибки.

Если бы получился коэффициент f = 0.5, то это означало бы что вы переторговываете, и объем сделок следует уменьшить вдвое.

Как видите получился не совсем классический критерий Келли, он и не мог получится из-за плавающих убытков и прибылей, скорее относительный критерий Келли, который позволяет скорректировать вашу текущую торговлю к оптимальным объемам.
Да, и не забывайте, оптимальный критерий Келли даёт наилучшую доходность, но очень большую волатильность вашего счёта. Поэтому многие используют половину Келли, доходность чуть падает, но эквити становится существенно гладкой.

У меня все, доклад закончил, надеюсь это поможет вам скорректировать свою торговлю.