Точность и кучность волатильности (GARCH)

Игра в угадайку — она как стрельба: можно угадывать точно, а можно угадывать кучно. 




Иллюстрация. 1 и 2 столбец — кучная и не-кучная угадайка, 1 и 2 строка — точная и не-точная угадайка. 

Аналогично и с угадыванием волатильности. 



Лучше, конечно, вообще не угадывать волатильность, лучше её предсказывать, а ещё лучше — измерять или просто знать. Поэтому, мы будем волатильность не угадывать, а измерять, чтобы наш арбитраж, который мы собираемся над ней совершить, выглядел бы соответственно. А измерять волатильность мы будем в предположении Блэка-Шоулза о лог-нормальном распределении приращений цены актива-подложки, и потому будем пользоваться специально припасёнными математиками для этого случая инструментами: среднеквадратичным отклонением — СКО. Но измерять волатильность мы будем тоже не просто так — не просто в лоб по СКО, а GARCH методом, предполагающим, что чем дольше мы измеряем нечто, тем точнее у нас это получается. Мы же не просто измеряем всё-таки, а делаем это весьма интеллектуально! 


И вот что у нас получается для недельных опционов на Si:


Иллюстрация. Временные ряды ожидаемой (красная линия) и фактической волатильности (синяя линия)


Иллюстрация. Демонстрация фактических измерений (синие точки) и ожидаемого значения измеряемой величины (красные точки).



Как видно из последней иллюстрации, коэффициент детерминации нашего измерительного прибора (СКО, MA, 20 дней) всего 0.55. В то время как если бы прибор был бы идеальным, и позволял бы получить истинную оценку волатильности вместо её эмпирической (измерительной) оценки, то коэффициент детерминации был бы равен 0.64 (оценка численного моделирования) или примерно на 16% больше. Но означает ли это, что наш прибор позволяет получить точность измерения ± 16%? Совершенно нет!

Как известно, ошибка измерения делится на ошибку точности и ошибку кучности, которые, в силу собственной независимости, дают общую ошибку, дисперсия которой равна сумме дисперсий каждой отдельной части. И если 0.36 — дисперсия ошибки кучности, то дисперсия ошибки точности наших измерений, составит, соответственно: 1-0.55-0.36=0.09. Т.е. средняя ошибка точности составит 30%.

Таким образом, измеряя волатильность при помощи СКО методов, мы в среднем будем ошибаться в своих оценках на 30%, при сравнимом среднем спреде IV-HV около 20%.



Иллюстрация. Графики волатильности Si, источник: Option.ru.