Блог им. elogunov

Оценивание опционов при неопределенной волатильности

Речь пойдёт об одной из модификаций модели Блэка-Шоулза, известной как «Uncertain Volatility Model», «volatility band» или «Black-Scholes-Barenblatt model». Я кратко расскажу о модели, приведу простейшую реализацию на языке R, а также список наиболее полезных статей, касающихся этой модели.

Уравнение Блэка-Шоулза-Баренблатта

Используются все те же самые предположения, что и в модели Блэка-Шоулза, за одним исключением: про волатильность известно лишь то, в каком диапазоне она находится: Оценивание опционов при неопределенной волатильности; Оценивание опционов при неопределенной волатильности . Очевидно, что при условии Оценивание опционов при неопределенной волатильности эта модель должна быть эквивалентна модели Блэка-Шоулза.

Верхняя Оценивание опционов при неопределенной волатильности и нижняя Оценивание опционов при неопределенной волатильности границы цен опционов в рамках этой модели удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

Оценивание опционов при неопределенной волатильности.

Наиболее существенным отличием от обычного уравнения Блэка-Шоулза является то, что волатильность зависит от гаммы опциона: Оценивание опционов при неопределенной волатильности.

А именно, следующим образом:
Оценивание опционов при неопределенной волатильности,
Оценивание опционов при неопределенной волатильности.

Реализация

Расчёт цен опционов в рамках данной модели может быть выполнен при помощи триномиальных деревьев с рекомбинацией:
Оценивание опционов при неопределенной волатильности
Для тех, кто не очень разбирается в подобных методах — вот простейшая реализация оценивания опционов в рамках модели Блэка-Шоулза с использованием биномиальных деревьев (известна также как модель Кокса-Росса-Рубинштейна):
Оценивание опционов при неопределенной волатильности

Объяснение идеи «на пальцах»:
1. Строим дерево возможных траекторий цены, сдвигаясь из каждого узла на каждом шаге вверх на step.up с вероятностью prob.up, либо вниз на step.down с вероятностью prob.down;
2. Считаем выплаты по опциону для каждой цены на момент экспирации;
3. Двигаемся от экспирации в сторону текущего момента времени, определяя цену опциона в промежуточных узлах как дисконтированное матожидание возможных стоимостей в следующий момент времени.

А теперь вернёмся обратно к оцениванию опционов при неопределенной волатильности:
Оценивание опционов при неопределенной волатильности

В целом — всё то же самое, с небольшими отличиями:
1. Используется более сложное дерево (схему одного шага см. в начале части);
2. При определении цен в промежуточных узлах учитывается знак гаммы опциона.

Примеры

Стоимость европейского опциона типа «колл» со страйком 110, временем до экспирации 0.25 (года), безрисковой ставкой 2%, диапазоном для волатильности 15..40%, в зависимости от цены базового актива. Для сравнения также сосчитаны цены с использованием модели Кокса-Росса-Рубинштейна, по верхней и нижней границам волатильности. Кол-во шагов в деревьях — 1000.
Оценивание опционов при неопределенной волатильности
В этом случае цены, получаемые по модели Блэка-Шоулза-Баренблатта, совпадают с ценами, получаемыми по модели Кокса-Росса-Рубинштейна (а, значит, и с ценами, получаемыми по модели Блэка-Шоулза).

Рассмотрим бычий колл-спред 100-110. Для оценивания нижней границы цены колл-спреда в рамках модели Кокса-Росса-Рубинштейна будем использовать нижнюю границу волатильности для получения цены покупаемых опционов, и верхнюю границу волатильности для получения цены продаваемых опционов. Для верхней границы всё наоборот: верхняя граница волатильности для покупаемых опционов, нижняя граница волатильности для получения цены продаваемых опционов. А вот в модель Блэка-Шоулза-Баренблатта мы запихнём контрактную функцию колл-спреда целиком. Вуаля!
Оценивание опционов при неопределенной волатильности
В случае с конструкциями, компоненты которых имеют гамму разных знаков, оценивание их целиком даёт гораздо более узкий интервал возможных цен. Sapienti sat.

Напоследок

Исходный код: https://pastebin.com/A9YwwATz

Верхняя и нижняя границы волатильности могут быть модифицированы для учёта транзакционных издержек при дельта-хеджировании. Подробности ищите в статье [1] из списка литературы.

Оценивание опционов при неопределенной волатильности

Литература

1. Marco Avellaneda, Antonio Paras «Managing the Volatility Risk of Portfolios of Derivative Securities: The Lagrangian Uncertain Volatility Model»
2. Marco Avellaneda «An Introduction to Option Pricing and the Mathematical Theory of Risk»
3. Anna Kolesnichenko, Galina Shopina «Valuation of portfolios under uncertain volatility: Black-Scholes-Barenblatt equations and the static hedging»; technical report
4. Alena Sdobnova, Jakub Blaszkiewics «Analysis of An Uncertain Volatility Model in the framework of static hedging for different scenarios»; technical report
5. David Pooley «Numerical Methods for Nonlinear Equations in Option Pricing»; PhD thesis
6. Albrecht Budke «Finite Difference Methods for the Non-linear Black-Scholes-Barenblatt Equation»; PhD thesis
7. Claude Martini, Antoine Jacquier «The Uncertain Volatility Model»
8. Swati Mital «Uncertain Volatility Model»; June 6, 2016
9. Xinpeng Li, Yiqing Lin, Weicheng Xu «On properties of solutions to Black-Scholes-Barenblatt equations»; Advances in Difference equations 2019:193
10. Gunter H. Meyer «The Black Scholes Barenblatt Equations for Options with Uncertain Volatility and its Application to Static Hedging»; Working paper, October 2004
★34 | ₽ 3
А язык, так понимаю, R. Не буду спрашивать про пакеты, все равно его снес неск лет назад, а забыл и того раньше.)
Сам материал в нетленку.)
avatar

3Qu

3Qu, Да, код на R. Использовались только базовые пакеты. Должно быть очень просто переписать на VBA, C или MATLAB.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, на Питон моделирую. Проще и быстрей.
avatar

3Qu

ага, присоединяюсь к 30 посмотревшим и 3 отплюсившимся после 4 минус с момента публикации. в формулах ошибок нет. как обычно, всё понятно. в печать.
avatar

(1:10) || algo

(1:10) || algo, большинство как я, на прокрутке, много цыфр.
avatar

Азат Туктаров

И какой, интересно, доверительный коридор у моделей волатильности считается удовлетворительным? 
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, У меня пока что нет ответа на этот вопрос.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, у меня 24-30% относительное смещение ошибки, если, конечно, предполагать в базе Гаусса.   Хотелось бы сравнить… да не с кем. 
avatar

Kot_Begemot

про волатильность известно лишь то, в каком диапазоне она находится

А откуда нам это известно? )
avatar

Dmitryy

Dmitryy, Например — сосчитали HV, прикинули доверительный интервал. Или можно попробовать к рыночным ценам различных конструкций откалибровать модель.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, Жень правильно ли я понял, что если вдруг БА изменит свой ход — все вычисления НАСМАРКУ?
avatar

Тихая Гавань

Тихая Гавань, Пусть меняет, нужно будет лишь параметры заново откалибровать.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, тоесть необходима постоянная докалибровка по все время меняющемуся БА, так? 
avatar

Тихая Гавань

Тихая Гавань, Да. На постоянство параметров обычно особо и не полагаются. Всё равно работаем с их оценками (т.е. есть неточность). У хорошей модели параметры будут меняться медленно.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
сосчитали HV, прикинули доверительный интервал

ответ с запозданием, но как легко прикинуть доверительный интервал я так и не нашел. Это вообще возможно без PDF и СDF?
avatar

Dmitryy

либо вниз на step.down с вероятностью step.down;
не ошибка в тексте? может с вероятностью prob.down?
avatar

kachanov

kachanov, Спасибо, исправил.
avatar

Eugene Logunov

Для чайников в опционах и дырявым чайникам в высшей математике -какую пользу даст моделирование? 
Прогноз цены опциона при предполагаемом диапазоне волатильности?
avatar

Врач-бондиатОр

Врач-бондиатОр, Скорее, не прогноз, а оценку текущей справедливой цены. Если что-то стоит дешевле — покупаем, если дороже — продаём. Дельта-хеджируем до экспирации, либо пытаемся перепродать купленное дороже справедливой цены, и откупить проданное дешевле.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, а для акций/фьючерсов у Вас какие-нибудь наработки есть, которыми с обществом не жаль поделиться? )
avatar

Врач-бондиатОр

Врач-бондиатОр, Наработки есть, желания нет))
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, эх...((
avatar

Врач-бондиатОр

Эх, еще бы понять о чем тут ((
avatar

Андрей

Андрей, тут победители математических олимпиад рубятся...)
avatar

Врач-бондиатОр

Врач-бондиатОр, почему победители олимпиад не работают в Курчатовском институте, а идут торговать опционы)
avatar

Glago

Glago, потому что за опционы больше денег идет.
avatar

Врач-бондиатОр

Хоть кто то делом занимается 
Вот так, одним побеждать в олимпиадах, другим терять все… Вот интресно только сколько времени на это тратится? Всю жизнь? А какая реальная отдача? Никто, конечно не скажет… Но кроме продаж краев никто ничего не придумал, вроде. Продажи до поры до времени
avatar

Андрей

В функции оценки при неопределенной волатильности prob.down больше единицы же будет. Это точно вероятность?
avatar

r0man

r0man, В схеме для одного шага есть «p» (маленькая). Она фиксит эту ситуацию. К тому же у нас dt стремится к нулю, когда используется много шагов в дереве.

В коде эти вероятности просто не домножены на неопределенную величину p, которая всплывает в обратном проходе. Считайте, что часть вычислений вынесена за скобку.
avatar

Eugene Logunov

Все таки сорвался на формулы… Развязал. )
avatar

YuryDok

YuryDok, Скучно читать разборы стандартных конструкций и нынешний срач в разделе. Вот срач про улыбки волатильности — это по-нашему :D
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, График триномиального дерева P=p(1-1/2sigma*dt^0.5). Что за звери P и р. Меня смущает что только половину волы берем. Когда изменение = S*E^sigma*dt^0.5. А???
Дмитрий Новиков, P-большое — это вероятность каждой из веток дерева. P-малое — это величина, через которую мы вносим неопределённость по волатильности в дерево.

При одинаковом шаге дерева можем получить разную волатильность путём соответствующего выбора вероятностей. При p=1/2 — получаем sigma.max; при p=(1/2)*(sigma.min/sigma.max)^2 — получаем sigma.min. Средняя доходность при этом остается равной risk free rate. Речь, разумеется, о доходности и волатильности, приведённых к годовому масштабу.

См. код: https://pastebin.com/8mGTkrii
Малейшие ошибки в таких вещах сразу дают расхождение с BS/CRR :)
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, я как раз поигрался с вашим кодом (надеюсь не против) и добавил на график BS. Действительно наложился на CRR. Идея в целом понятна — более точный прицел для поиска несправедливо оцененных опционов.
avatar

Dmitryy

Eugene Logunov, Ну языками я не владею. Только что украинским со словарем:)). Меня и смущает что p это уже 1/2. Зачем мы сигму еще раз делим. 
У нас есть вероятность в дереве P и 1-Р. тогда P= 1/1-E^SigT^0.5, а 1-Р=1/1+E^SigT^0.5. Откуда тут 1/2sigT^0.5 вылезла? Или что такое р маленькое?
Дмитрий Новиков,
У нас есть вероятность в дереве P и 1-Р
Тут используется триномиальное дерево, а не биномиальное. Исходов — три (вверх, вниз, вбок), вероятностей — тоже.

Вы можете просто подставить верхнюю и нижнюю границу p-малого в вероятности трёх веток и сосчитать аналитически матожидание и дисперсию полученных дискретных случайных величин. Код по ссылке в комменте выше демонстрирует, что всё сделано корректно.
Или что такое р маленькое?
Мы не можем использовать неопределенную сигму в дереве, т.к. в этом случае нам надо будет в обратном проходе переключаться между двумя деревьями, причем разные узлы могут оказаться в разных деревьях в зависимости от знака гаммы. При этом узел с ценой, присутствующей в одном дереве, может отсутствовать в другом.

Поэтому используем одну сигму (sigma.max), но в зависимости от знака гаммы меняем вероятности, с которыми берётся матожидание ветвей. Для этого можно определить либо два набора вероятностей, дающих высокую и низкую волатильность, либо один, но зависящий от параметра. p-малое — это и есть тот самый параметр, в зависимости от которого в конкретном узле дерева у нас всплывает либо низкая, либо высокая волатильность.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, в стиле Дмитрия, ответ д.б. наверно звучать: просто  L надо развернуть на 180°))).  

Хотя может я ошибаюсь, и L не (своего рода) прокси Гаммы (для const шага): долго пытался найти и не сразу нашел где ж в коде Вы ее знак зарыли.
avatar

flextrader

flextrader,
в стиле Дмитрия, ответ д.б. наверно звучать: просто  L надо развернуть на 180°))).  
:D Выражение для L нужно просто подставить в строчку opt.value <- discount.factor * …; после этого сразу будет видно, с какими вероятностями что берётся:

opt.value <- discount.factor * (
  (p * prob.down) * opt.value[1: (num.nodes — 2)] +
  (1 — 2 * p) * opt.value[2: (num.nodes — 1)] +
  (p * prob.up) * opt.value[3: num.nodes]
  )

Что касается использования знака L — ну, там есть кусок закомментированного кода, а следом за ним — эквивалентный, но чуть более быстродействующий. Гаммой называть эту штуку не совсем честно, это тоже верно :)
avatar

Eugene Logunov

Денег приносят все эти математические модели?

Или так высшую математику попрактиковать?
avatar

Павел Иванов

Павел Иванов, приносят, тем, кто умеет их готовить. 
avatar

Dmitryy

Павел Иванов, читай «Кванты. Как волшебники от математики заработали миллиарды и чуть не обрушили фондовый рынок» Скотт Паттерсон.
Подобные матмодели вылавливают ничтожные доли процента отклонения от «справедливой цены» и для ощутимой прибыли требуют громадных объёмов, открываемых в долг.
При том, что в их основе лежит правдоподобное предположение о нормальном распределении вероятностей рыночных процессов. Каковое предположение периодически опровергается практикой и гробит всех математиков.
avatar

Rostislav Kudryashov

Rostislav Kudryashov, да ладно всех :) тех, кто не читал Талеба может и губит, но все уже прошли этот этап.
avatar

Dmitryy

Dmitryy, Талеб никогда не торговал по математическим моделям. Все его математические изыски направлены на развенчание  финансовых гуру от математики. «Антихрупкость».
О том же пишет Ха Джун Чхан, профессор экономики в Лондонском университете: где в экономике начинается математика, там начинается уход от реальности и шарлатанство. «23 тайны, то что вам не расскажут про капитализм.fb2». Глава «Тайна двадцать третья. Для хорошей экономической политики хорошие экономисты не требуются».
avatar

Rostislav Kudryashov

Rostislav Kudryashov, откуда такая уверенность, что он не торгует модели?

https://www.quora.com/How-exactly-does-Nassim-Talebs-trading-strategy-work
His actual strategy is highly mathematical and has evolved over the years.
avatar

Dmitryy

Dmitryy, торговая система Талеба состояла в размещении 85% портфеля в надёжных облигациях и остальных 15% — по нескольким десяткам бумаг 3-го эшелона, сулящим многократный барыш при удаче. Это он называл «опциональным подходом» — малое вложение и большая отдача.

Такая стратегия могла работать в 80-90-е, Я недавно прочёл, что в эти годы гособлигации давали 9% при 4%-й инфляции. Именно это обеспечивало благополучие американских пенсионеров.

PS Достаточно только одного названия главы из «Чёрного лебедя» -  «Глава 15. Кривая нормального распределения, великий интеллектуальный обман», чтобы не покупаться на суждения толкователей Талеба.
avatar

Rostislav Kudryashov

Rostislav Kudryashov, «для хорошей экономической политики хорошие экономисты не требуются»

Как ярко я вижу, как наяву — во всей красе, всю настольную библиотеку российской политики.
avatar

shprots

shprots, не надо грезить и бредить. Читай реальную историю мировой экономики. Эрик Райнерт «Как богатые страны стали богатыми, и почему бедные страны остаются бедными.fb2», Ха Джун Чхан «Недобрые (Злые! — ха-ха переводчику) самаритяне. Миф о свободе торговли и тайная история капитализма.pdf», Джо Стадвелл «Азиатская модель управления.fb2» prosnjlib.com
Япония переняла эту модель выхода из отсталости у канцлера Бисмарка в Германии.
avatar

Rostislav Kudryashov

Rostislav Kudryashov, 

Талеб никогда не торговал по математическим моделям.

Торговал, в его книге Dynamic Hedging как раз описаны модели оценивания опционов, включая экзотику. Читая между строк, можно понять, что он занимался арбитражом, используя эти модели.

торговая система Талеба состояла в размещении 85% портфеля в надёжных облигациях и остальных 15% — по нескольким десяткам бумаг 3-го эшелона, сулящим многократный барыш при удаче.

Это наверно уже более поздняя его система. Самая известная его стратегия — покупка OTM путов, когда в их цене было заложено нормальное распределение, благодаря ей, в черный понедельник 1987, он заработал достаточно, чтобы всю оставшуюся жизнь заниматься графоманией.
avatar

Aphelion

Aphelion, Талеб заработал «на всю жизнь», сделав большую ставку на крах в 2004. Прибыль с этой ставки начала приходить в 2007.
avatar

Rostislav Kudryashov

Rostislav Kudryashov, 
При том, что в их основе лежит правдоподобное предположение о нормальном распределении вероятностей рыночных процессов.
Не всегда :) https://smart-lab.ru/blog/574535.php
Каковое предположение периодически опровергается практикой и гробит всех математиков.
Гробит, обычно, самоуверенность (оверфит и перебор с рисками).
avatar

Eugene Logunov

Rostislav Kudryashov, а в условиях русского рынка? маржин коллов по лотерейкам? понятно, что в гипотетической wall street такие гении смогут получить сотни миллионов долларов на свои миллиметровые квадратические отклонения.

А в России заработать то можно?

Я вот человек простой. Вижу нефть по 54, покупаю. Торгую сезонность. В июне/июле выйду с +ХХ% на 5 плече. И это не опционные блек-шоулс. А вполне понятные 80-100% на первоначальную позицию.

P.s.: маржин при цене нефти 38, пойдем к этой цифре, удвою первоначальный депозит и запас будет до 20. 

В трейдинге — меньше шевелений, больше заработка, к.м.к.
avatar

Павел Иванов

Павел Иванов, Вы слетайте на кипрскую или московскую опционную конференцию и поймете.
avatar

Dmitryy

Как выбрать правильную модель? Ведь прайсинг начинается с выбора модели. Чем плохо делать просто прогноз цены и от одного сценария плясать? Ну вернее здесь случай вырожденный, но показывает суть вопроса. Выбор модели — это уже очень серьёзная заявка. Ну то же тяжелые хвосты, когда мы рассматриваем БШ, то это bet что хвосты не тяжелые. При этом вроде все уже согласны, что тяжелые. Как тут быть? Сразу несколько моделей одновременно заряжать и потом смотреть разные оценки?
avatar

Vanger

Vanger, Начинать нужно с понимания того, что следует учитывать, а чем можно пренебречь. Кажется разумным учитывать то, что пытается учитывать большинство. При этом то, чем пренебрегаем, не должно в какой-то момент убить счёт. Думаю, во многом это искусство, а не действия по строгим правилам.

Среди подходящих с точки зрения допущений моделей выкидываем:
1. Те, что имеют множество параметров и слишком сложны в калибровке;
2. Плохо изученные модели (если, например, неизвестно, является ли модель безарбитражной);
3. Те, чьи скоростные характеристики не соответствуют решаемой задаче.

Оставшиеся — тестируем и сравниваем между собой. Можно добавить какую-нибудь модель-бенчмарк, широко используемую в индустрии.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, ну а не получится ли так, что вот всё вроде выбрали, всё хорошо, а по факту имеет лоси. Например, покупает опционы. А внутренняя причина (нам неизвестная) — несоответствие модели реальной жизни. Кто-то систематически лучше знает будущее и делает более достоверные bets против нас (нам продает опционы) — мы в минусах. Как от этого защититься?
avatar

Vanger

Vanger, От несоответствия модели реальной жизни должен спасти бэктест. От информированной торговли поможет увеличение спреда.
avatar

Eugene Logunov

Как там продажа стрэддла в Тесле лучше расскажи? Снова лось поди?)
avatar

KarL$oH

KarL$oH, К счастью, по тесле я в основном работаю от покупки опционов, либо конструкциями с прикрытыми рисками :D Последнюю неделю без позиций в ней. Жду отчета по продажам за первый квартал, это будет хороший повод зайти.
avatar

Eugene Logunov

если я не ошибаюсь, модель должна описывать динамику базисного актива. Что же описывает эта модель? Трендовость базисного актива? Какие параметры вставлять в модель, и как оценить риск смены этих параметров?
avatar

bozon

bozon, Она и описывает: GBM с волатильностью, про которую известны лишь её границы ;) См. первые две формулы в статье.

Один из способов калибровки параметров указан в части 3.5 статьи [4]. Для выбранного способа калибровки риск смены параметров оцениваем по историческим данным.
avatar

Eugene Logunov

Никогда не понимал смысл уравнений в частных производных для расчёта справедливой цены опционов. 

Всё же проще в самом общем случае произвольного платёжного поручения (опцион — частный случай платёжного поручения). Это просто средняя выплата по распределению будущей цены экспирации, деленная 1+«безрисковую ставку до экспирации».

Что такое модель Б-Ш в этом контексте? Это просто предположение, что будущее приращение логарифма цены представляет из себя нормальное распределение со средним нуль и дисперсией сигма^2*Т, где Т -  время до экспирации. Пара элементарных преобразований на уровне алгебры 10 класса функции выплат опциона и определение функций CVAR и VAR (квантиль)  для нормального распределения и получите всем известную формулу БШ после замены 1+«безрисковая ставка до экспирации» на е^r*T. 

Более того, в рамках этой модели легко получить и формулы справедливых  цен всяких спредлов, бабочек и т. д., т. е. любой конструкции опционов  с одним сроком погашения.  Так как это опять же частный случай платёжного поручения.

Зачем множить сущности с «безарбитражностью» и прочей лабудой?

Не нравится предположение о среднем нуль и дисперсией сигма^2*Т? Вводите свои предположения о них, формулы изменятся с точностью до сдвига по прямой в аргументах CVAR и  VAR. Не нравится нормальность? Ну получите те же CVAR и VAR,  но уже по своему распределению.

Для ликвидных опционов можно решать и «обратную» задачу: по ценам опционов рисовать вид распределения будущего приращения цены (логарифма цены), каким его «видит» рынок. В принципе — это та же «улыбка волатильности» «вид сбоку». 
avatar

А. Г.

А. Г., Смысл этих уравнений в том, что стоимость опциона равна стоимости его репликации при помощи базового и безрискового актива. Но работать с распределением иногда действительно проще.
Это просто средняя выплата по распределению будущей цены экспирации, деленная 1+«безрисковую ставку до экспирации».
Подход с дисконтированием матожидания выплат на момент экспирации, в моём понимании, будет работать не во всех случаях. Например, наличие автокорреляций в доходностях повлияет на стоимость репликации опциона.
Зачем множить сущности с «безарбитражностью» и прочей лабудой? 
Если модель не является безарбитражной — то мы, фактически, соглашаемся подарить кому-то деньги. Потому и нужны условия: put-call parity, absence of butterfly arbitrage, absence of calendar spread arbitrage, неотрицательность плотности подразумеваемого распределения и т.д.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
Например, наличие автокорреляций в доходностях повлияет на стоимость репликации опциона.

Какие проблемы, если мы имеем дело с гауссовской последовательностью? Это просто поправка в формуле для дисперсии нормального распределения.
Смысл этих уравнений в том, что стоимость опциона равна стоимости его репликации при помощи базового и безрискового актива. 

В формуле среднего функции выплат по будущему распределению цены экспирации, деленному на   1+«безрисковая ставка до экспирации» все то же самое. Никакой разницы.
Если модель не является безарбитражной — то мы, фактически, соглашаемся подарить кому-то деньги. Потому и нужны условия: put-call parity, absence of butterfly arbitrage, absence of calendar spread arbitrage, неотрицательность плотности подразумеваемого распределения и т.д.

Зачем все это, если все равно все сводится к будущему распределению цены (приращения цены, приращения логарифма цены) на экспирацию? Делайте сразу предположения об этом распределении и «всего делов». Кстати, плотность распределения не может быть отрицательной.
avatar

А. Г.

Eugene Logunov, 
Потому и нужны условия: put-call parity, absence of butterfly arbitrage, absence of calendar spread arbitrage, неотрицательность плотности подразумеваемого распределения и т.д.
Вот мне не совсем понятно с этими условиями безарбитражности. Мне кажется, что здесь, если вы эти условия закладываете в модель, вы должны исходить из какой-то иной интерпретации. Потому что если исходить из общепринятого их понимания, то мы получаем БШ с плоской поверхностью волатильности. Но тогда какой смысл в такой другой модели. Или вы называете это безарбитажностью, если эта арбитражность остаётся внутри какого-то доверительного диапазона?
avatar

noHurry

noHurry, Put-call parity и неотрицательность плотности подразумеваемого распределения — это model-free условия.

Про прочие — рекомендую Gatheral'а почитать, он много писал на тему безарбитражности в моделях типа SVI. Вот первая попавшаяся статья: https://arxiv.org/pdf/1204.0646.pdf
avatar

Eugene Logunov

А. Г., 
Для ликвидных опционов можно решать и «обратную» задачу: по ценам опционов рисовать вид распределения будущего приращения цены (логарифма цены), каким его «видит» рынок. В принципе — это та же «улыбка волатильности» «вид сбоку». 
Всё верно. Но что если мы видим отрицательную плотность? Ведь такого не может быть! :)
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, это как мы могли «увидеть» отрицательную плотность при положительной цене опциона? Это означает, что более дальний опцион дороже более ближнего. Ну это может быть только при спредах в премиях в десятки процентов от премии. Это называется неликвид. Я о них не говорил.
avatar

А. Г.

А. Г., Подразумеваемая плотность вытаскивается из цен опционов таким образом:   (K — страйк). Цены опционов, само собой, положительные.
Это означает, что более дальний опцион дороже более ближнего. Ну это может быть только при спредах в премиях в десятки процентов от премии. Это называется неликвид. Я о них не говорил.
В данном случае — это модель, допускающая арбитраж при определенных параметрах. И если пренебречь условиями на безарбитражность — котирование по ней будет приводить к раздаче денег.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, опять диффур. Как его посчитать то в условиях реальной дискретности? Не проще ли просто строить кусками нормального распределения по IV соответствующего страйка «вне денег»? Естественно при условии ликвидности.
avatar

А. Г.

А. Г., Эта формула выводится без диффуров: quant.stackexchange.com/a/1676 :)

Оценку плотности можно получить из котировок при помощи finite difference: f(K) ~ exp(r * T) * (C(K-dK) + C(K+dK) — 2 * C(K)) / (dK ^ 2) (чуть усложняется, если есть страйки с разным шагом). Но на практике это даёт не очень красивые результаты.

Нужна какая-то схема интерполяции цен, вроде той, что вы и предложили. Но насколько корректна IV в тех страйках, где стоимость опционов сравнима с их шагом цены?
строить кусками нормального распределения по IV соответствующего страйка «вне денег»
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
Нужна какая-то схема интерполяции цен, вроде той, что вы и предложили. Но насколько корректна IV в тех страйках, где стоимость опционов сравнима с их шагом цены?

Конечно в таких «дальних» страйках это некорректно. Но и зачем нам «лезть» в такие «большие уклонения».

А как выводится эта формула, это понятно и из того, что я написал: двойное дифференцирование интеграла (ведь среднее функции выплат — это интеграл с той же плотностью).
avatar

А. Г.

А. Г., В дальних страйках при использовании оценки IV из цен опционов, округленных в соответствии с шагом цены, плотность будет получиться заниженной. А ведь она должна интегрироваться к единице на положительной полупрямой (ноль можно тоже включить как вероятность банкротства компании для опционов на акции).
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, да просто «плюнуть» на опционы, у которых шаг цены — это 50%+ от бида и забыть.
avatar

А. Г.

А. Г., 
смысл уравнений в частных производных для расчёта справедливой цен
так он там есть генетически, хотя бы в следствие (конкретного) допущения в BSM о траектории (ценов. ряде) s, (т.е. s =(как минимум) F(t)). 
разумеется (как в Вашем топике) можно запостулировать сразу  path-independence и упереться в него, но, кмк, это сразу закроет возможности для развития страт (с выливанием в что-то типа угадаек st, RV, IV)
avatar

flextrader

flextrader,  ну почему ж «угадаек»? Мы же верим в тренды со средним больше безрисковой ставки и даже пытаемся их «поймать». А наличие этих трендов приводит к невыполнению этих уравнений. 
avatar

А. Г.

А. Г.,
А наличие этих трендов приводит к невыполнению этих уравнений. 
Рынок тоже должен быть безарбитражным.

Рассмотрим синтетический фьюч при K=0:

exp(-r*T)*[-integrate(S_T=0..K; (K-S_T)*f(S_T))+integrate(S_T=K..+Inf, (S_T-K)*f(S_T))] =

exp(-r*T)*integrate(S_T=0..+Inf, S_T*f(S_T)) = 

exp(-r*T)*E[S_T | S_0].

Из put-call parity C-P=S-K*exp(-r*T) при K=0 понимаем, что последнее выражение должно быть равно S_0: S_0=exp(-r*T)*E[S_T | S_0]. Если это правило нарушено — сам рынок допускает арбитраж: пусть exp(-r*T)*E[S_T | S_0] > S_0 — занимаем под безриск и вкладываем в акции.
avatar

Eugene Logunov

интересное замечание: модели волатильности с возвратом к среднему моделируют центростремительную направленную дельту. Пользуясь терминалогией, принятой в небезызвестной опционной эпопеи гнома, модель Хестона «эмулирует» проданный стренгл. В Вашей модели есть возврат к среднему?
avatar

bozon

bozon, Возврата к среднему у волатильности в этой модели нет.
avatar

Eugene Logunov

Вопрос, в образовательных целях, а можем ли мы здесь для подсчета вероятности использовать backward Kolmogorov equation? 
avatar

Dmitryy

Dmitryy, Через forward equation, наверное, можно прийти к тому же решению, но такой подход будет, мягко скажем, не прямолинейным :) Через backward — с ходу не соображу как.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 2. Считаем выплаты по опциону для каждой цены на момент экспирации;
3. Двигаемся от экспирации в сторону текущего момента времени, определяя цену опциона в промежуточных узлах как дисконтированное матожидание возможных стоимостей в следующий момент времени.
Так здесь надо знать цены експирации прошлых опционов ?
avatar

Вельвет

Вельвет, Нет, цены экспирации прошлых опционов не нужны.

1. Строим дерево возможных значений цены:

2. Определяем выплаты по опциону на момент экспирации (для примера — европейский колл с 80ым страйком; безрисковая ставка равна нулю):

3. Двигаемся в обратном направлении по времени, определяя стоимость опциона в промежуточных узлах:

Подробно этот вопрос раскрыт в книгах:
1. Tomas Bjork «Arbitrage Theory in Continuous Time»;
2. Brent Odegaard «Financial Numerical Recipes in C++» (глава 8).
avatar

Eugene Logunov


....все тэги
2010-2020
UPDONW