Обобщённый подход к диверсификации рисков

Дополнение к серии «Портфельная оптимизация как бустинг на слабых моделях»

• Обобщённая проблема

Результаты оценки любых случайных величин представляют из себя случайную величину. Не исключением здесь будут оценки ковариации.

Особенно сильно эффект неточности полученных оценок (случайности статистик) будет проявляться в портфелях, составленных из большого количества ценных бумаг — большего или сопоставимого количеству располагаемых наблюдений. И, поскольку, в некотором приближении задача портфельного инвестирования сводится к поиску двух максимально независимых активов из множества:


 

где R — коэффициент взаимной корреляции — её решение, естественным образом, будет располагаться в области максимально отрицательной статистической ошибки.

Иными словами, вследствие нелинейности самой задачи, ошибки в определении статистической взаимосвязи различных активов не уничтожаются суммированием( как это происходит при подсчёте средних), а, наоборот, усиливаются функцией min / max и приводят к абсолютно непредсказуемым, хаотичным результатам. Что, в свою очередь, означает не только не-оптимальные  инвестиционные решения, но и большой объём «паразитного» оборота, повторяющего случайные блуждания портфеля, требующего повышенной ликвидности и разоряющего инвестора комиссиями биржи.

• Усадка ковариационной матрицы (Shrinkage)

Для решения этих нелинейных проблем возможно использовать простые линейные алгоритмы, позаимствованные из методов статистической регрессии и известные как регуляризация (Тихонова, Лассо и пр.). Смысл этих методов состоит в том, чтобы перевести задачу из области нелинейности, связанной с поиском минимума корреляций, в некоторую область линейности, умышленно стимулировав широкодиверсифицированные инвестиции по всему рынку (без оглядки на корреляцию). Достигается это путём регуляризации или усадки матриц :


 

где — Cov — ковариационная матрица используемая в задаче, Cov(sample) — выборочная ковариация, Cov(basis) — базисная ковариация, ламбда — параметр регуляризации, подбираемый бэк-тестом или выбираемый на каждом шаге исходя из общих характеристик матриц.

Видно, что при ламбда = 0, задача вырождается и приобретает характер задачи в некоторых априорных предположениях о характере взаимосвязи активов, заданных матрицей Cov(basis).

Этими априорными предположениями (базисом ковариации) могут выступать :

1. Предположение о нулевой корреляции активов (Sharpe,1963)
2. Предположение о некотором общем уровне взаимосвязи для всех активов (Ledoit & Wolf,2003)
3. Отсутствие каких либо априорных предположений и использование эмпирического базиса в целях усадки (PCA, задача настоящей работы)

Забегая вперёд, отметим, что, в целом, результаты наших испытаний по этим методам соответствуют результатам сторонних авторов.

• Динамические модели условных корреляций и функции сглаживания

Второй подход, предложенный Р.Энглом (Theoretical and empirical properties of dynamic conditional correlation multivariate GARCH,
2001), заключается использовании динамических моделей корреляций (DCC) c использованием различных сглаживающих фильтров (например, фильтра Калмана или скользящей средней). В этом подходе используемая ковариационная матрица рассчитывается как:



Это обобщённое уравнение совмещает в себе оба подхода — при бетта = 1/n и альфа+бетта =1, оно вырождается в уравнение усадки матриц, рассмотренное ранее, а при других значениях дополняет усадку фильтром Калмана ( в зависимости от соотношений альфа и бетта) и динамической моделью ковариации, зависящей от коэффициентов вектора бетта.  

• Оценка качества моделей при решении тестовой проблемы

В качестве исходных данных для OOS теста моделей мы взяли фондовый рынок США, представленный 64 активами за период с 08.09.11 до 11.09.18. В качестве базовой модели оценки доходности  — математическое ожидание IS выборки, рисков — модель на основе Bipower Variation.  То есть самый простой и из всех возможных методов. Период наблюдений — 120 дней, минимальный из всех эффективных периодов, период инвестирования — 60 дней. 

Апостериорный анализ возможностей портфельного инвестирования утверждает, что на выбранном интервале времени достижимы портфели с годовым коэффициентом Шарпа 1.32, в то же время базовая модель без преобразования ковариационных матриц достигает уровня качества не более чем 0.95. 


Таблица результатов тестов. 


Из таблицы видно, что DCC (dynamic conditional covariation) модели в среднем выигрывают у CCC (constant conditional covariation) моделей. При этом стандартные процедуры усадки работают слабо удовлетворительно и почти не имеют эффекта. Модель Шарпа, при этом, превосходит модель Ледойт-Вульфа, вероятно из-за некоторой, присущей ей дискретности, связанной с не завышением ковариаций слабо коррелированных активов  и слабым снижением ковариации сильно коррелированных активов. Устранить этот недостаток Ледойт-Вульф модели с сохранением всех её преимуществ (в качестве априорного предположения вводится ненулевая корреляция, что лучше соответствует действительности) позволяет более сложная факторная модель (Principal Component Analysis), разделяющая активы на группы слабо и сильно коррелированных с текущими движущими рынок факторами.