Мю против дельта хеджа

Небольшой батл между любимчиками недавних дискуссий. Как оказалось, это может привести к расшатыванию труб и обрушению карточных домиков из опционных иллюзий. Но тем интереснее.

Итак, пусть V(S,t) — стоимость опциона для заданных параметров (страйк, вола, срок, т.п.). S — цена БА, подчиняется логнормальному процессу:



Если у нас есть позиция с купленным опционом и проданным БА, то функция стоимости нашего портфеля будет такая:



Где «дельта» равна величине нашей шортовой позиции в БА.

Как изменяется стоимость нашего портфеля с течением времени, т.е. между t и t + dt? Вот так:



C dS понятно, см. первую формулу выше. Что насчет dV? Вот тут нам как раз и нужна лемма Ито. Ее фундаментальная заслуга как раз в том, что она позволяет вычислить изменение функции от стохастической переменной S:



Никакого отношения к каким-то дрифтам вида -0.5*sigma^2 она не имеет. Это легко понять, если почитать саму лемму.

Теперь мы можем переписать формулу для изменения стоимости портфеля:



И где тут наше Мю? Да ясно где — оно в dS, см. первую формулу. Т.е. совершенно очевидно, что накапливаемые нашим портфелем прибыль или убытки напрямую зависят от Мю (оно же дрифт) в БА. Это и так интуитивно понятно. Однако, если мы отделим мух от котлет и сгруппируем изменения стоимости портфеля, которые зависят от изменений цены БА, то получим:



И тут все неявное сразу становится явным. Мол, батюшки, да если мы на каждом шаге будем шортить БА на величину, равную дельте опциона



т.е. делать наш любимый дельта хедж, то мы полностью убьем зависимость нашего портфеля от dS:



А вместе с этим мы убьем и любое Мю, которое влияет на dS.

Батл окончен и вывод очевиден. В случае с логнормальным процессом ДЕЛЬТА ХЕДЖ ПОБЕЖДАЕТ ЛЮБОЕ МЮ! 

Все. Можно расходиться. Но результат лучше понять и запомнить :)