Cовременная теория Гарри Марковица. Аллокация №2
Продолжаем цикл «Аллокация капитала».
Сегодня — база. Разбираемся, почему вообще появилась идея распределять капитал по-умному и что именно в 1952 году придумал Гарри Марковиц.
Формул ниже не бойтесь: в итоге интерфейсы из следующих статей не суперсложные. В сухом остатке нужно понять, что идея диверсификации на рынке появилась уже давно, и при торговле множеством активов (или стратегий) нужно об этом заботиться. И когда-то за это даже дали Нобелевскую премию.
Напоминаем, что нужно это для тех, у кого есть от нескольких десятков прибыльных стратегий.
1) Как это было
В 1952 году Гарри Марковиц, молодой аспирант Чикагского университета, опубликовал статью «Portfolio Selection». В 1990 году за неё он получил Нобелевскую премию по экономике.
Что же он сказал такого? До него логика инвестора была прямолинейной: посмотри, какие активы обещают максимальную доходность, и купи их. Всё. Марковиц показал, что так считать нельзя, и ошибка прячется в самом вопросе. Правильный вопрос не «какой актив лучший», а «какой портфель лучший». Потому что активы не живут по отдельности — они влияют друг на друга.
Чтобы доказать это, ему понадобилось сначала договориться о терминах: что считать доходностью и что считать риском. С этого и начнём.
2) Доходность и риск
Доходность актива — это случайная величина. Заранее мы не знаем, сколько принесёт актив, а знаем только, что у неё есть среднее значение. Портфель — взвешенная сумма активов: сколько куда вложили, такую среднюю доходность и получили.
А вот с риском интереснее. Риск — это не «проиграл», а дисперсия доходности. Если доходность актива сильно скачет (сегодня +10%, завтра −10%), актив «рискованный», даже если в среднем он в плюсе. Риск портфеля — разброс его суммарной доходности.
Теперь внимательно: дисперсия портфеля — это не сумма дисперсий активов. Если бы это было так, никакой теории бы не понадобилось — просто набирай поспокойнее и всё. Дисперсия портфеля зависит ещё и от того, как активы двигаются друг относительно друга. И вот тут на сцену выходит главная величина всей теории — корреляция.
3) Корреляция — как активы двигаются вместе
Корреляция ρ — число от −1 до 1. Она говорит, насколько доходности двух активов двигаются в одну сторону:
ρ = 1 — всегда вместе;ρ = 0 — независимо;
ρ = −1 — ровно наоборот.
Формально корреляция Пирсона считается так:
ρ = cov(x, y) / (σx · σy)
где cov — ковариация, σ — стандартное отклонение (волатильность). Делим «насколько они вместе» на «насколько каждый сам по себе».
Зачем нам это число? Затем, что именно оно отвечает на вопрос из первой главы: «как активы влияют друг на друга». Осталось подставить его в формулу риска портфеля и увидеть, что происходит.
4) Главная формула Марковица
Возьмём портфель из двух активов. Доли капитала — w1 и w2, волатильности — σ1 и σ2, корреляция — ρ. Дисперсия портфеля:
σ² = w1²σ1² + w2²σ2² + 2·w1·w2·σ1·σ2·ρ
Первые два слагаемых — собственные риски активов. А вот последнее — то самое перекрёстное слагаемое, в котором сидит корреляция. И вот что с ним можно делать:
ρ = 1 — слагаемое максимально: риски складываются полностью, диверсификации ноль;ρ < 1 — слагаемое меньше: часть риска «съедается»;
ρ = −1 — слагаемое вычитается: активы страхуют друг друга.
Мини-пример. Два актива, волатильность каждого — 20%, капитал поровну. Если ρ = 1, риск портфеля — те же 20%: ничего не выиграли. Если ρ = 0, риск падает до ~14%. Если ρ = −1, риск обнуляется вообще. Доходность при этом везде одна и та же — средняя от двух активов.
Вот он, главный вывод Марковица: смешивая неидеально скоррелированные активы, можно снизить риск, не теряя в средней доходности. Это и есть диверсификация — только выраженная формулой, а не словами «не клади яйца в одну корзину».
Для N активов всё то же самое, только в матричном виде, через ковариационную матрицу Σ:
σ² = wᵀ Σ w
5) Если всё так красиво — в чём подвох?
Логичный следующий шаг: раз есть формула риска, давайте решим оптимизацию. Найдём веса w, которые максимизируют доходность при заданном риске. Это и есть классический метод Марковица, mean-variance. Красиво, но на практике у него две беды, и обе про одно и то же: входные данные.
Ковариации оцениваются по истории, а история шумит. Маленькая ошибка в оценке — большие скачки в «оптимальных» весах.Веса неустойчивы: чуть изменились входные данные, и портфель перевернулся с ног на голову.
Получается парадокс: теория верна, а пользоваться ей «в лоб» нельзя. Значит, нужно взять из неё главное и придумать, как распределять капитал устойчивее. Что будем разбирать уже на практике в последующих статьях.
6) Что из этого берёт модуль «Аллокация капитала»
Из теории Марковица модуль берёт фундамент — ковариационную и корреляционную матрицу как основу всех расчётов.
А вот от численной оптимизации весов отказывается. Вместо неё — структурирование матрицы: роботы группируются по корреляции, и капитал делится между группами, а не между всеми роботами по отдельности. Так веса получаются устойчивыми к шуму входных данных — а это ровно то, чего не хватало классическому Марковицу.
Как именно группируются роботы и как считаются веса — две следующие статьи: сначала простой способ (равновесная кластеризация), потом академический (иерархический риск-паритет).
Следующая статья — равновесная кластеризация по корреляции: первый алгоритм, формулы и интерфейсы. Подписывайтесь!
Удачных алгоритмов!
https://smart-lab.ru/company/os_engine/blog/1024149.php
Скачать OsEngine: https://github.com/AlexWan/OsEngine
Официальная поддержка OsEngine в MAX:https://max
Канал Научный трейдинг в MAX:https://max.ru/
Поддержка OsEngine в Телеграм:https://t.me/osengine_official_support
Канал Научный трейдинг (Bad Quant) в Телеграм:https://t.me/bad_quant
