Автокорреляция MCFTR
Когда я публикую данные по своим стратегиям, то там обычно есть таблица с помесячной доходностью. Иногда у людей возникает вопрос, который они задают в комментариях — существует ли зависимость между доходностью предыдущего месяца и следующего за ним. Иными словами, можно ли каким-то образом предсказать возможную доходность или хотя бы её знак, зная результат предыдущего месяца.
Такая задача в математике решается с помощью автокорреляции. Это по сути расчет значений корреляции между значениями ряда со сдвигом на заданную величину. Например, у нас есть значения помесячной доходности за 12 месяцев. Если мы посчитаем корреляцию этих 12 значений самих к себе, то корреляция логично будет равна 1, так как такие условные два ряда будут идентичными на 100%. Но если мы возьмем сдвиг на один месяц то есть посчитаем корреляцию между рядом с 1-го по 11-й месяц и со 2-го по 12-й, то мы сможем установить наличие или отсутствие взаимосвязи между значения предыдущего периода и последующего. Сдвиг может быть любой.
По правилам математической статистики, чтобы значения автокорреляции были корректны в принципе, необходимо удостовериться, что временной ряд (в нашем случае ряд доходностей) является стационарным. Проверить это можно разными способами. Например, построив график ACF.
Для примера я взял индекс полной доходности Московской биржи MCFTR (IMOEX + дивиденды), посчитал прирост индекса в непрерывных процентах (логарифмических), построил график ACF для определения стационарности ряда, и рассчитал корреляции со сдвигом в 1 месяц, 2 месяца и так далее до 12 месяцев. Результаты приведены на скриншотах.
Общие выводы можно изложить так:
✅ Временной ряд логарифмических помесячных доходностей MCFTR можно считать стационарным
✅ Взаимосвязь между значениями прошлых периодов с текущими есть с лагом в 1 месяц прямая и 6 месяцев обратная.
Наука такого не говорит — значимость зависит от количества данных. Значение корреляции R пересчитывает в t-статистику по формуле R * sqrt((n — 2) / (1 -R^2)). А дальше значимость надо смотреть по таблицам распределения Стьюдента с n — 2 степенями свободы
Вот мои результаты (из python statsmodlibrary).
По конечным месячным значениям индекса mcftr конечно не стационарный (статистка теста -1,41, pvalue 0,57, Ho о стационарности отвергается). Критические значения при разных уровнях значимости {'1%': -3.4333124035016755, '5%': -2.862848698658432, '10%': -2.5674666837288345).
А вот по ариф. доходности mcftr статистика теста -9.598820709786356, p-value 1.9453587542625362e-16. Много меньше 1%. Соответственно Ho о стационарности не отвергается.
Модель ARIMA (1,0,1) дала лучший результат с log likelihood -4139.932 и наименьший AIC (8287,86).
AR коэф отрицательный (и стат. значимый). MA положительный и стат значимый.
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
const 0.0527 0.031 1.721 0.085 -0.007 0.113
ar.L1.ret -0.5156 0.150 -3.443 0.001 -0.809 -0.222
ma.L1.ret 0.4257 0.158 2.693 0.007 0.116 0.736
Тоже сижу програмлю на python. Как раз решил помоделить с помощью разных моделей, чтобы потом ещё студентам рассказывать. А может и какой алго примитивный написать для теста. У меня по критерию Д-Ф для лог доходностей тоже получалось p-value 1,57*10^-7.
Вообще, я стараюсь не использовать для анализа автокорреляционные функции. Уж больно мутные результаты получаются в реальных ситуациях, когда предположения о стационарности неверны и, также неверны, предположения о том, что анализируемые данные не окрашены спектрально.