Портфель облигаций с минимальной дюрацией

Добрый день, коллеги!

Хочу поделиться своими наработками в решении задачи расчета оптимального портфеля облигаций методом минимизации его дюрации.

Если коротко, то решая задачу оптимизации написал программу, которую запилил в вебе, как двухшаговую форму. Программе достаточно скормить файл с данными по облигациям, скачанный с rusbonds.ru и определить целевые параметры. Далее оптимизатор рассчитает оптимальные веса бумаг.

ссылка на форму здесь

Если подробней:
Инвестируя в облигации, столкнулся (как мне кажется, естественно) с задачей определения оптимального портфеля с т.з. системного риска. Задача свелась к определению и минимизации дюрации портфеля. К сожалению, дюрация портфеля зависит от весов облигаций не линейно (т.е. не является средневзвешенной дюрацией), а квадратично. Соответственно, пришлось попутно решать задачу квадратичной оптимизации. Все это вылилось в целую разработку, которой я и захотел поделиться с миром:). Надеюсь будет кому-то полезно на инвестиционном поприще. Пользуйтесь на здоровье.

Формочку снабдил, как мне кажется, понятной инструкцией. Но если будут вопросы — пишите в комменты.
Удачных инвестиций.

Облигации оптимальный портфель

Melichron

Москва

с 16 мая 2019

32 Комментария

SergeyJu
05 декабря 2019, 12:03
1. Что Вы называете системным риском?
2. Откуда квадратичная зависимость дюрации от весов, в первом приближении она линейна должна быть.
+1
- Melichron
  05 декабря 2019, 12:31
  SergeyJu,
  1. Системный риск — в данном случае рыночный, т.е. такой, который нельзя снизить диверсификацией. Например, риск, изменения процентных ставок вы диверсификацией не снизите, а вот минимизировать чувствительность к нему можно снижением дюрации.
  2. В каком-то приближении всё линейно :). Чтобы понять «откуда» достаточно посмотреть на формулу дюрации. Иногда, однако, значение средневзвешенной дюрации достаточно близко к рассчитанному по квадратичной форме.
  0
  - SergeyJu
    05 декабря 2019, 15:19
    Melichron, как насчет риска ликвидности или риска дефолта? Они отчетливо рыночные. И смогли ли Вы засунуть в расчет облигации с переменным купоном, хотя бы зависящим от инфляции.
    0
    - Melichron
      05 декабря 2019, 16:07
      SergeyJu,
      — хм. во-первых они не рыночные: дефолт объявляет эмитент, а не рынок. Управление ликвидностью, достаточной для погашения обязательств — тоже ответственность эмитента. Оба риска снижаются диверсификацией.
      Во-вторых, нет утверждения, что снижение дюрации — это универсальная мера, способная снижать все рыночные риски одинаково эффективно. Но она, как минимум, разумна.
      — В расчет можно «засунуть» любую облигацию, для которой, с теми или иными оговорками, определено понятие «дюрация». Например на rusbonds.ru дюрацию и YTM для облигаций с неизвестными купонами определяют на дату выплаты последнего известного купона или до даты оферты. Любая оптимизация имеет действие до момента пересмотра портфеля, а когда это делать — это уже на усмотрение самого инвестора.
      
      Кроме того, не пойму смысл ваших комментариев в целом. Что вы хотите сказать? Что задачу оптимизации портфеля таким образом решать нельзя или, что минимизировать дюрацию не нужно/вредно, или что у вас есть решение более правильное/комплексное? Поделитесь.
      0
      - SergeyJu
        05 декабря 2019, 18:24
        Melichron, давайте начистоту. С моей колокольни, то что Вы делаете — это туфта. Возможно, Вам за это платят деньги. Возможно, именно этого от Вас этого ждет работодатель. Возможно, кто-то именно так поставил Вам задачу. Но получается у Вас сферический конь в ваккууме. Управление портфелем не заключается в том, что один раз его составить и пусть инвестор дальше выкаблучивается. КРЫС, небось, каждый день заявки выставляет и не знает, какие исполнятся, а какие нет. Как тут оптимизировать по дюрации? А ликвидность — это же сугубо рыночный риск и фактор. Если мне завтра нужно будет переложиться, а диквидности не будет, что делать? Риск эмитента — тоже абсолютно рыночный фактор, просто потому, что он сказывается на портфеле и составитель портфеля должен его учитывать. Ну и, наконец, представление, что диверсификация спасает от дефолтов, мягко говоря, неверное. Потому что она уменьшает риск на эмитента, но не уменьшает риск на классе активов.
        Так что считать, как Вы пишете — можно. Управлять — не нужно.
        0
  - flextrader
    05 декабря 2019, 23:35
    Melichron,
    дюрация портфеля зависит от весов облигаций не линейно
    это ниразу не так, вспомните математику и разные определения Dr.
    
    Да, Полезней возможно будет Вспомнить, что есть понятие выпуклости. если задача мин.волатильности портфеля — Вам туда
    0
    - Melichron
      06 декабря 2019, 09:45
      flextrader,
      вспомните математику
      Вспомнил. Это элементарно. Возьмите хотя бы любые два долговых инструмента (с разным набором платежей и доходностью). Выпишите для них выражения дюрации (любые «разные», какие вам нравятся). Далее убедитесь, что форма выражения для дюрации не инвариантна относительно любой их линейной комбинации (т.е. не является средневзвешенным сроком портфеля по дисконтированным платежам портфеля). Проделайте всё это на бумаге прежде чем делать ваши безапелляционные вбросы и советовать другим вспомнить математику.
      
      Чтобы показать, что зависимость именно квадратичная требуются менее тривиальные выкладки и для них тут не место.
      
      Выпуклость мне в этой задаче не нужна. Даже не буду объяснять, почему.
      Минимизация волатильности — вообще из другой оперы (хотя там оптимизаций тоже квадратичная, но матрица уже состоит не из отношений дюраций к коэффициентам дисконта, а является ковариационной).
      0
      - flextrader
        06 декабря 2019, 10:34
        Melichron,
        сорри, что задел. лишние моменты в комменте, признаюсь были. но
        т.е. не является средневзвешенным сроком портфеля по дисконтированным платежам портфеля)
        я не понимаю при чем здесь неведомый «средневзвешенный срок» (вернее понимаю о чем Вы, но исхожу не из рассмотрения всего потока платежей). речь в моем комменте была исключительно о связи взвешенных модиф.(!) дюраций компонентов
        
        док-ва все тривиальные(из св-в производных), если позволит время бахну чуть больше выкладок прям из пакета символьной математики (ради объективности).
        0
        Melichron
        06 декабря 2019, 11:23
        flextrader,
        Конечно. Давайте бахнем:) Покажите пожалуйста, как из приведенной вами линейной комбинации определить Dpi и YTM портфеля ;)
        В помощь вам для однозначности задачи, картинка:
        
        Приведите точные выражения для Dpi и rpi.
        
        0
        flextrader
        06 декабря 2019, 21:39
        Melichron, а можете пояснить почему для YTM.pi должно существовать (в общем случае) какое-то аналитическое выражение f (..,D.j,..,ytm.j,...)?
        0
        SergeyJu
        06 декабря 2019, 22:11
        flextrader, YTM для портфеля разносрочных облигаций… а это не интеллектуальная перверзия?
        0
        flextrader
        06 декабря 2019, 22:26
        SergeyJu, да х.з., я сейчас могу быть не очень аккуратен с терминами.
        но если требуется ориентир на спред к бенчмарку (аналог g-спреда)? — как-то надо быть. и кстати, в тех же классических Джорионе/Такмане (у Фабо — посмотрю) эту доходность часто считают как average
        0
        Melichron
        07 декабря 2019, 20:40
        SergeyJu, ну какая перверзия, что вы говорите...
        Портфель, состоящий из срочных долговых инструментов сам является срочным долговым инструментом. Его срок погашения равен сроку самого длинного инструмента в нем. Соответственно, у него есть и YTM.
        0
        SergeyJu
        08 декабря 2019, 16:38
        Melichron, есть, считать можно, и что? Если держать облиги до погашения (оферты), то нет почти никакого смысла в оценивании промежуточных рисков портфеля. При погашении купона или облиги возникает очень простая задача реинвестирования, которую можно, конечно, оптимизировать по внутренним рискам (промежуточным просадкам), но это не несет, имхо, финансового смысла. Есть простые вещи, типа использования формы кривой доходности, которые позволяют иметь доходность выше за счет перекладки.
        0
        Melichron
        07 декабря 2019, 20:36
        flextrader, если дюрация замкнута относительно линейной комбинации, то выражение для rpi не просто существует, но и легко выражается: rpi = Dpi/D*pi — 1. :)
        другое дело, что для этого необходимо показать именно, что линейная комбинация дюраций есть дюрация, как вы утверждаете.
        Личку я пока не смотрел — времени нет. Но учитывая описанные вами сложности, надеюсь это уже таки навело вас на мысли. В любом случае спойлер: когда не справитесь с доказательством линейности я, для чистоты, приведу вам доказательство обратного. Оно также элементарно ;)
        0
        flextrader
        07 декабря 2019, 22:04
        Melichron,
        для этого необходимо показать именно, что линейная комбинация дюраций есть дюрация
        я же вторым комментом указал, что имелась ввиду справедливость утверждения только для модифицированной D*, разве не так? или мы (ну пусть, скорее, я) в ходе топика перешли на утверждение о разных предметах. я не пойму: для D* Вы тоже считаете несправедливость тогда есть смысл смотреть ЛС
        
        0
        Melichron
        09 декабря 2019, 15:15
        flextrader, сорри, если запутал. Я действительно немного поторопился с требованием по поводу линейности обычной дюрации (хотя оно в силе в данном контексте). Немного на шаг назад:
        Вы тоже считаете несправедливость
        Да, утверждаю несправедливость и для D*. Для того, чтобы показать справедливость Вашего утверждения, вам необходимо линейную комбинацию модифицированных дюраций в явном виде привести к виду D* = D/(1+r). но уже для двух инструментов видно, что это возможно только в том случае, если r обоих инструментов равны. Если же они действительно равны, то в числителе возникнет линейная комбинация обычных дюрация и тогда уже важно доказывать первое утверждение (о нелинейности обычных дюраций).
        
        ЛС смотрел. Насколько я понял, вы продифференцировали ЛК денежных потоков облигаций по ставке, а потом разделили производную на исходную ЛК. Но ни идеи, ни что дальше я не понял
        0
        flextrader
        07 декабря 2019, 09:40
        Melichron, 3х бумажный вариант (символьно) чет не осилю никак (т.к. надо коллектить заморачиваться подобные, иначе громоздко).
        
        сделал выр-е для D* на 2 бумаги: 2,5-летку с п/г купонным периодом, и десятилетку — с годовым, все в личке, смотрите.
        0
КРЫС
05 декабря 2019, 12:23
какая-то заморочка… Вы исходите из заданной дохи к погашению и находите веса для портфеля с минимальной дюрацией?
0
- Melichron
  05 декабря 2019, 12:26
  КРЫС, да
  0
  - КРЫС
    05 декабря 2019, 12:28
    Melichron, на самом деле, интереснее бы ыбло наоборот. Дюрация портфеля отвечает за его рыночный риск… Потому, инвестор изначально определяет для себя оптимальную дюрацию своего портфеля. А уже потом идет задача максимизации доходности к погашению, исхдя из заданной дюрации
    0
    - Melichron
      05 декабря 2019, 12:33
      КРЫС,
      конечно, так можно:) но я же решал свою задачу… а она у меня была именно такой, как описано.
      Вообще говоря, можно для нескольких доходностей рассчитать минимальные дюрации, построить кривую, а потом решать, какое соотношение будет оптимальным.
      +1
    - SergeyJu
      05 декабря 2019, 15:22
      КРЫС, как все это расчитать, если не учитывать прогноз изменения процентных ставок, ведь у нас будет еще и реинвестирование купонов. То есть, задача, на мой вкус, должна включать в себя представление о будущих ставках и деятельность по реинвестированию.
      0
      - flextrader
        05 декабря 2019, 23:31
        SergeyJu, если реинвест на том же множестве бумаг с Dr практически ничего не меняется. с т.з. оценки ценового поведения (когда это нужно) — есть 3 классических метода.
        с т.з. чувствительности к shift-ам ставок: тоже стандартно — взяли производные (ключевой) ставки на ключевых сроках, задались shift-ами, в первом приближении комбинации линейны.
        дальше стресс-шифты
        
        0
        SergeyJu
        06 декабря 2019, 12:46
        flextrader, у меня в шкафу стоит прочитанный когда-то Фабоцци. И я могу подсчитать в облигах почти все, что мне может потребоваться. Проблема не в этом. Проблема в том, что для управляющего огромным облигационным фондом с формально выписанными требованиями по рискам и бенчмаркам стоит одна задача, а для управляющего, который торгует не только облигации или не столько облигации, задача совсем другая. И самое первое, о чем я думаю, когда беру облигации в портфель — это ликвидность их в трудные времена. Собственно, и в облигационном фонде такая проблема маячит за спиной, потому что клиентам могут срочно потребоваться деньги. А у тебя — оптимально подобранный шит, в котором спред 25% у нас или 10% в баксах! Управляющий продает ликвиды и молится каждый час. Потому что в хорошие времена он выжимает последнюю капеху доходности в погоне за ветренным клиентом.
        А я хочу вовремя переложиться из облиг в акции — причем без лишних затрат. Значит, в нашем случае — это короткие ОФЗ. Но я хочу и на дюрации заработать в хорошие времена. Значит- прогноз процентных ставок. А иммунизации, оптимумы и тому подобное — это в другой жизни.
        0
        flextrader
        06 декабря 2019, 13:27
        С.Ю.,
        Фабоцци
        )) понятно почему на реинвест сразу акцент.
        
        это короткие ОФЗ. Но я хочу и
        имхо, тогда есть смысл открываться в бумагах на уже порядком инвертированных/butterfly кривых, но, наверно с вашей, т.з. это тоже будет «прогноз...».
        0
        SergeyJu
        06 декабря 2019, 14:32
        flextrader, акцент на деятельность, а не на статику. Мы живем в мире, где меняются процентные ставки, цены акций и объем средств у инвесторов.
        0
        Melichron
        06 декабря 2019, 19:36
        SergeyJu, вот у меня вопросы в связи с вашими терадами: ну ок, вы молодец. А вы сами-то в облигации инвестируете? На какой срок? И как определяете доли в портфеле? Как «прогнозируете» процентные ставки? В какой момент перекладываетесь? Какие содержательные соображения стоят за каждым вашим действием?
        0
        SergeyJu
        06 декабря 2019, 22:06
        Melichron, я начал торговать облигации в 1996 году. Пережил дефолты эмитентов в 98 и в 2008-2009. Сейчас из облиг торгую только ОФЗ. Допускаю покупки лучших корпоратов… но на мой вкус не хватает ликвидности и, к тому же, лучшие корпораты обычно выпускают акции, что делает невозможным торговлю облигациями по соображениям совокупного риска на эмитента. Выбор дюрации делаю в соответствии с личным прогнозом направления движения процентнsх ставок. Слава Богу, на этом рынке присутствуют долгие тренды.
        В моем портфеле есть, как Вы поняли, ОФЗ, акции и самые ликвидные фьючерсы. Фьючерсы по алго, облиги по прогнозу ставок, акции — отчасти по интуиции (вдолгую) отчасти по системам.
        А что торгуете лично Вы?
        0
        Melichron
        07 декабря 2019, 09:09
        SergeyJu, только облигации. Офз и корпоративные 1 эшелона. Относительно короткие — с горизонтом 3-5 лет до погашения. Держу до погашения или до оферты.
        0
        SergeyJu
        07 декабря 2019, 09:47
        Melichron, в таком случае Ваш главный риск — обесценение рубля. А промежуточные просадки портфеля не имеют существенного значения.
        0
        Melichron
        07 декабря 2019, 16:38
        SergeyJu, у меня есть и евробонды
        +1