Расставляем точки над IV и HV, считаем на R, для новичков

Решил рискнуть и поднять довольно холиварную тему, и разобраться, какие виды волатильностей бывают и чем они отличаются. Всё ниже-сказанное прежде всего рассчитано на новичков, которые уже имеют представление о волатильности, но теряются в догадках, какую же всё-таки использовать (как и я). Чтобы понять о чем пойдет речь далее, необходимо иметь базовые представления о модели Блэка-Шоулза (БШ).

Что такое Implied Volatility (IV)?

Для вычисления цены опциона, обычно используют формулу БШ, которая принимает следующие параметры:

OptionPrice = Vbs(S, t, sigma, r, K, T)

Но на рынке, опционы уже торгуются по неким ценам. Одни продают, другие покупают. Если взять цену опциона с рынка и вычислить волатильность, которую подставив в формулу БШ, мы сможем получить рыночную цену опциона — это и будет подразумеваемая волатильность или Implied Volatility.

Вычисляем IV

Решить уравнение БШ и вывести из него sigma — не простая задача. Скорее всего, даже не возможная, по-этому решается оно методом перебора Ньютона-Рафсона.

Ниже представлен код на язык R, который принимает основные параметры из формулы БШ, но вместо волатильности используется цена опциона, а отдает подразумеваемую волатильность. Расчет d1 и d2, неоднократно был представлен в моих постах ранее и будет в коде, ссылка на который в конце статьи.







В двух словах, мы берем максимально возможную волатильность равную 1, подставляем её в формулу БШ, вычисляем цену опциона и постепенно уменьшаем волатильность на небольшой шаг, до тех пор пока цена не совпадет или максимально приблизится к искомой цене опциона.

Используя эту волатильность, мы можем построить такой график (использовались цены закрытия для RIU9):

• красный — call
• зеленый — put
• синий — текущая цена БА

Да, он какой-то не идеальный, в отличае от того, что рисуют разные сервисы. Не знаю как у них так получается...

Что такое Historical Volatility (HV)?

Теперь подходим к самому интересному, к исторической волатильности. Эта волатильность вычисляется на основе исторических данных, а именно цене базового актива. Что характерно, для её вычисления ничего не нужно знать кроме цен и времени. Но даже с таким не большим числом входных параметров, вычисление HV может быть довольно трудоемким.

Насколько мне позволяют судить мои знания, нет единого мнения, о том как правильно считать HV. Существует несколько общепринятых моделей с простыми и сложными вычислениями. Приведу список с коротким описанием без формул, чтобы никого не травмировать, тем более они легко гуглятся по названиям:

• Close-to-Close — вычисляется по формуле дисперсии используя цены закрытия — самая простая и самая неточная модель.
• Parkinson — создана в 1980 году, вместо цен закрытия использует максимальную и минимальную цену БА.
• Garman-Klass — тоже в 1980 году, но уже использует вместе с макисмальными и минимальными ценами БА, цены открытия и закрытия.
• Rogers-Satchell — создана в 1990 году, в этой формуле было учтено, что БА не обладает нулевым МО, но всё еще плохо обрабатываются скачки БА.
• Garman-Klass Yang-Zhang — японский математик Янг-Жанг модифицировал формулу Garman-Klass, чтобы она могла обрабатывать резкие скачки БА.
• Yang-Zhang — в 2000 году была создана формула, которая учитывает и скачки БА и ненулевое МО и дрифт.

Вычисляем HV

Так как в нашем распоряжении есть язык R, то для вычисления HV используем готовую библиотеку — TTR. Её код открыт, вычисления при необходимости можно проверить.


Для вычисления HV нам понадобятся данные: цены закрытия, открытия, хаи и лоу. Я подготовил данные за последние 252 дня для фьючерса RIU9:




Используя этот код, мы теперь можем построить график исторической волатильности:



Здесь отображена волатильность рассчитанная по Close-to-Close (черным) и Yang-Zhang (красным).

HV против IV

Используя всё выше-сказанное, попробуем нарисовать на одном графике IV и HV.

HV на графике будет прямой линией (черная — close-to-close, оранжевая — Yang-Zhang).
Теперь используя HV вычислим цену опционов по формуле БШ и отобразим на графике.

• красный — рыночная цена put
• зеленый — рыночная цена call
• оранжевый — цена put по HV
• синий — цена call по HV

Использовалась HV по формуле Янг-Жанг. Выводы напрашиваются сами собой, арбитраж виден не вооруженным глазом.

Ссылки на код

• IV: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/iv-calculation.R
• HV: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/hv-calculation.R
• IV + HV charts: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/hv-calculation-prices.R

И какую же волатльность использовать?

Для меня, на данный момент, однозначного ответа нет. Скорее всего, на СЛ это уже обсуждалось сотни раз, но я был бы признателен, если опытные коллеги поделились бы своими соображениями по этому поводу. А именно, почему многие предпочитают наиболее простой Close-to-Close? Какую волатильность используют для ДХ?