Математическое ожидание: думай как казино (или нет)

Прибыль казино и прибыль успешного трейдера (вас, то есть) построены на одном и том же принципе – на математическом ожидании, а не на разовых удачных сделках. Казино зарабатывает не потому, что ему «везёт», а потому что вероятность каждой игры слегка смещена в его пользу. На коротком промежутке казино может как выигрывать, так и проигрывать, но на длинной дистанции преимущество по вероятностям неизбежно реализуется в деньги.

В торговле на рынке логика та же. Ваша задача – сделать так, чтобы каждая отдельная сделка статистически была на вашей стороне, а затем достаточное кол-во раз повторить эту ситуацию, не убив счёт рисками и пересиживаниями.

Что такое математическое ожидание сделки

Формально математическое ожидание сделки можно записать так:

E=(Pwin​×Rwin​)−(Ploss​×Rloss​)

где Pwin​ – доля прибыльных сделок, Rwin​ – средняя доходность прибыльной сделки (в процентах к капиталу на сделку), Ploss​ – доля убыточных сделок, Rloss​ – средняя величина убытка. Доли сделок суммируются до единицы: Pwin+Ploss=1

Пример:

• прибыль на сделку: 6%

• доля прибыльных сделок: 60%

• убыток на сделку: 4%

• доля убыточных сделок: 40%.

Тогда математическое ожидание:

E=(0,6×6%)−(0,4×4%)=3,6%−1,6%=2%

Это означает: если бы вы могли сделать бесконечно много сделок по таким условиям, то в среднем одна сделка давала бы около 2% прибыли к рискуемому капиталу. Это ожидаемое значение, а не гарантированный результат для каждой конкретной сделки.

Если вы торгуете, например, объемом 10000 долларов, то при матожидании 2% средняя прибыль на сделку на длинной дистанции составит порядка 200 долларов. Сделали 300 сделок в год – в статистическом среднем можно ожидать порядка 60000 долларов прибыли до поборов и без учета проскальзываний.

Момент: ожидание считается на одну сделку. Доходность по счёту за большое кол-во сделок считается через сложный процент, а не простое сложение.

Положительное ожидание бывает с разной структурой

Положительное E можно получить с различными комбинациями стоп / тейк / винрейт. Главное – чтобы формула давала плюс (ну не для всех, конечно).

Пример с большим стопом и высоким винрейтом

Пусть:

• цель по прибыли: 5%

• стоп‑лосс: 20%

• доля прибыльных сделок: 88%

• доля убыточных: 12%.

Тогда:

E=(0,88×5%)−(0,12×20%)=4,4%−2,4%=2%

Ожидание в процентах такое же, как и в предыдущем примере – 2% на сделку. Но профиль риска совсем другой: редкие, но тяжёлые убытки и очень высокий винрейт. Вы таких торговцев все видели.

 

Или так: 

Пример с маленьким винрейтом и большим профитом

Известный пример из подхода Уильяма О’Нила (CANSLIM):

• тейк: +20%

• стоп: −8%

• доля прибыльных сделок: 30%

• доля убыточных: 70%.

E=(0,3×20%)−(0,7×8%)=6%−5,6%=0,4%

Математическое ожидание положительное, но относительно небольшое – 0,4% на сделку. Здесь стратегия держится за счёт крупных редких профитов, перекрывающих частые маленькие стопы.

Как пример (отсюда https://smart-lab.ru/mobile/topic/1026457/): 

Вывод локальный: важен не винрейт сам по себе и не размер стопа, а то, какое ожидание даёт их комбинация при торговле реальной монеткой.

Почему недостаточно только матожидания

Один положительный E ещё не делает стратегию интересной. Нужно три элемента:

• положительное математическое ожидание;

• достаточное количество сделок (возможностей);

• разумный срок удержания позиции.

Если у вас система даёт 8% ожидаемой прибыли на сделку, но при этом всего одну сделку в год, то по факту вы получаете около +8% годовых – это уровень спокойного депозита, а не активной торговли.

С другой стороны, можно иметь скромное ожидание, скажем, 0,2% на сделку, но очень много сделок, например 1000 в год. Тогда сложный процент начинает работать на вас.

Корректно думать так: пусть средняя доходность сделки по счёту – r. Тогда после N сделок капитал меняется как:

Equity_N = Equity_0 * (1 + r)^N

а не как Equity_N = Equity_0 * (1 + r * N)

То есть доходности по сделкам мультипликативны – это ключевой момент, который часто упрощают. Также крайне желательно, чтобы сделки были достаточно независимы и риск на одну сделку не приводил к быстрому сливу при убыточной серии.

Скорость оборота капитала: чему учит казино

Казино, имея небольшое преимущество в 1–2% на ставку, делает много «оборотов» капитала в единицу времени. В блэкджеке одновременно работают десятки столов, каждая раздача идёт быстро, и за час проходит десятки игровых циклов на деньги каждого игрока.

Если преимущество казино, условно, 2,5% на ставку в 2 доллара, то в среднем оно зарабатывает около 5 центов с каждой игровой «единицы». Но если таких ставок в час десятки, то за много часов игры игрок постепенно отдаёт значительную часть своего банка именно за счёт повторения одной и той же ситуации с положительным ожиданием для казино.

В трейдинге аналогичный принцип:

• мало сделок при хорошем ожидании – деньги растут медленно;

• много сделок при положительном ожидании – деньги на депошке растут быстрее за счёт большого числа повторений.

И при равном ожидании выгоднее та стратегия, которая даёт больше независимых возможностей в единицу времени при контролируемом риске.

Время в позиции и доступ к капиталу

Даже если у вас есть система с положительным ожиданием и достаточным количеством сигналов, можно убить общий результат из-за слишком долгого удержания позиции (это моя проблема, в частности, одна из). Если капитал надолго застревает в одной сделке, вы не успеваете реализовать возможное количество циклов.

Пример: иметь 500000 долларов в одной позиции на год, которая принесла +50%, – это хороший результат в абсолюте (+250000 как никак, не х__н собачий). Но гораздо интереснее иметь систему, которая позволяет работать, скажем, 100000 долларов и делать множество коротких сделок с положительным матожиданием и высокой оборачиваемостью.

Если у вас есть метод с ожиданием порядка 1,2% на сделку и вы успеваете обернуть капитал 250 раз за год, то сложный процент сделает своё дело, и итоговая сумма может оказаться значительно выше, чем разовая 50‑процентная доходность на большой позиции, причём с более гибким управлением риском и меньшей зависимостью от одной‑единственной идеи.

Конкретный уровень результата зависит от реального среднего r по счёту, но сам принцип: «много независимых сделок с положительным ожиданием и умеренным (а лучше коротким) временем удержания лучше одной большой долгой ставки» – абсолютно рабочий.

Что нужно трейдеру, чтобы быть «игорным домом»

Если собрать всё вместе, то, чтобы вести себя как казино на рынке, трейдеру нужны три вещи:

• Положительное математическое ожидание каждой сделки, с учётом реальных комиссий и проскальзывания.

• Достаточное количество сделок в год, чтобы статистика успевала сыграть свою роль.

• Относительно короткий срок удержания позиции, чтобы капитал не простаивал и мог многократно оборачиваться.

Система с нулевым или отрицательным ожиданием на длинной дистанции проигрывает – как игрок, который бесконечно играет в игру с преимуществом казино. Задача трейдера – организовать свою торговлю так, чтобы в роли казино были именно вы… (но лучше мы)

Эта заметка появилась в результате прочтения аналогичной заметки из далекого прошлого (когда еще можно было открыто выражать своё мнение, не сильно опасаясь возможных последствий). Решил сохранить здесь тоже, т.к. иногда подобные заметки помогают создавать вот такие, например, штуки:  
   Обратите внимание на ничтожно малый % прибыльных сделок от общего. Тем не менее, кривуля имеет наклон в правильную сторону.  
UPD: выше график контрендового подхода, добавляю график базовой трендовой стратегии:   Иногда трендовая стратегия может принимать такой вид. ****
Вот нашел пример стратегии контртрендовой:   Прибыльных сделок около 50%, множество коротких стопов с редкими выбросами эквити большой тейк.

 Или вот из моих стратегий пример трендовой долгосрочной:  

Боковик в эквити такой стратегии может длиться годами, но при наличии хороших движений направленных стратегия своё забирает. Все совпадения случайны, статья является художественным вымыслом и никто не за что не отвечает тут и там, если что. Если где-то ошибся, значит где-то ошибся. Вам с этим жить. Морали здесь нет. Всем привет!