Как влияет на доходность облигации реинвестирование купонов? Делаем расчёт.
После интересного разговора с одним формучанином я нашел ошибку в своих расчетах, что и послужило причиной появления этого поста. Давайте разберемся с тем как влияет реинвестирование купонов на доходность облигации.
Чтобы не усложнять (пока) расчеты неполными купонными периодами, потренируемся на гипотетических облигациях. Возьмем гипотетическую облигацию, со следующими параметрами:
- Номинал 1000₽
- Котировка: 82%
- Ставка купона: 10%
- Частота выплат: ежеквартально.
- Погашение: через 2 года.
Какая у нее будет доходность с без реинвестирования купонов и с реинвестированием? Считаем доходность без реинвестирования купонов (она же YTM) по формуле IRR:
Где:
P – цена облигации (820 р);
CF – денежный поток (купон, амортизация или выплата тела, неважно);
t – номер периода;
n – количество периодов до погашения (8 кварталов);
IRR – доходность облигации (искомый параметр).
Это уравнение решается не аналитически, а итерационно, то есть нужно методом подбора определить при какой IRR будет выполняться равенство:
Обратите внимание, что поскольку мы рассматриваем ежеквартальные периоды, то и ставка тоже будет квартальной. Она равна 5,3% Далее переводим ее в эффективную годовую ставку:
Так мы получили доходность облигации без реинвестирования купонов.
А что будет если инвестировать купоны под указанную ставку в эту же облигацию (с допущением, что ставка будет неизменна на протяжении всего срока жизни? Для этого нужно определить будущую стоимость всех купонов. Можно сделать через формулу будущей стоимости аннуитета, но на практике она неудобна из-за неполных периодов, поэтому просто возьмем числовой ряд:
Где:
- FV – полное количество денег, ожидаемых от облигации с учетом реинвестирования под ту же доходность
- CFt – денежный поток от облигации в t периоде
- IRR – внутренняя норма доходности
- n – рассматриваемый период
- t – количество периодов
Тогда:
Таким образом, ровно через два года данная облигация превратится из 820 ₽ в 1241,49 ₽. Какая это доходность? Определим ее:
Где:
Y — количество полных лет.
FV — будущее количество денег
PV — стоимость покупки облигации
Как видите, доходность оказалась точно такой же.
Отсюда вывод: реинвестирование купонов под ту же ставку не меняет доходность облигации, оно «переносит» текущую стоимость денег в более отдаленный период с сохранением внутренней ставки доходности.
Тем не менее, расчёт доходности реинвестирования купонов как метод полезен тогда, когда купоны предполагается реинвестировать в какой-то другой финансовый инструмент. Этим способом можно рассчитать, совокупную доходность по операции при покупке облигации с одной доходностью и реинвестировании купонов в облигацию с другой доходностью.
Спасибо СергейК за дискуссию.
Поэтому их нельзя рассматривать обе как «черный ящик». Это разные «черные ящики» — из одного периодически что-то выпадает, из другого нет.
Так вы тумбочкой и влияете на временные характеристики денежного потока.
2. Но никак не пойму, откуда взялось 5,3. Вообще не очень удачный пример, лучше бы взять реальную облигацию, тем более, что купонный период у квартальных обычно 91 день (4 купона — 364 дня, не строго 1 год). А тут если ставка купона 10%, то за квартал получается 2,5!=5,3.
Если так в лоб учесть рост цены с 82 до 100, то получается 18, за год 9.
10+9=19, 19/4=4,75 (так вообще обычно не считают, но я пытаюсь получить 5,3) — опять не 5,3%. Т.е. результат 23,045% правильный (Чиствндох выдаёт 23,042 если не попасть на високосный год), но расчёты как будто не отсюда.
3. Даже на картинке YTM=(1+0,053)^4-1=23,045 ошибка т.к. реально получается 22,946%.
4. Конечная сумма с реинвестированием купонов под Ytm (а не под ставку, как написано выше) на самом деле считается сильно проще — т.к. у вас все деньги лежат под Ytm до погашения (и дюрация = срок до погашения), то это как просто вклад с выплатой в конце:
1. Ytm уже посчитана, она не меняется, её снова считать не надо, меняется только вложенная сумма
2. На выходе будет:
S1*((1+Ytm/100)^T)=820*(1,23045^2)=1241,4859
Это квартальная доходность. То есть эта облигация приносит 5,3% квартальных.
Как она получилась: посмотрите на формулу под фразой: «Это уравнение решается не аналитически, а итерационно, то есть нужно методом подбора определить при какой IRR будет выполняться равенство». То есть именно при такой квартальной ставке стоимость всех будущих купонов и тела облигации равна ее цене покупки:
820=25/1,053+25/1,053^2...+25/1,053^8+1000/1,053^8
Это ошибка округления. Точное значение квартальной ставки 5.32127302006047%, годовой ставки - 23.0451214192867%
Если считать в эксель то вот все три расчета: как видите, между ручным расчетом и ЧИСТВНДОХ появляется разбег в 0,002%. Я считаю что им можно пренебречь, поскольку либо это ошибки округления, либо високосный год.
На реальной чуть позже ручной расчет покажу. Там более громоздкая конструкция получается из-за неполных периодов
Я понял, т.е вы сначала вычисляете эти 5.3 и потом через них Ytm. Просто это другая формула и в ней все периоды одинаковые, но она на самом деле менее удобна т.к. стандартная формула Ytm (а точнее просто эффективной доходности) может считать для любых дат, в жизни это намного удобнее (и не только для облигаций).
То что в скобках под суммой — это и есть IRR, а за скобками НКД.
А часть после скобок про оферту вообще малозначима, но и её тоже можно представить как обычную выплату.
Да
Да
Период задается степенью ti/Year Basis, что позволяет учитывать любой период.
Ну в принципе вам ответил dmytriy klimov по сути то, что я хотел. Ну допустим позволяет, но когда year basis=365 вы сразу получаете результат, а если 91, то промежуточное значение, к-е ещё надо переводить в годовую дох.
А про громоздкость я выше уже написал, это Ммвб просто так для наглядности написала, в реальности есть только список дат и сумм и начальная сумма и подбор делается независимо от причины выплат. И ваша формула вначале
это она и есть (IRR=Ytm/100), просто
t=срок в годах, дробное число=ti/365
P=сумма=цена + Нкд + кмс
Также, вклад на 1 месяц под 10% имеет ту же доходность 10,46%.
В данном случае это так потому что выполняется аннуализация — приведение сроков, не равных году, к году, чтобы можно было сравнивать инвестиции с разными сроками.
Имеем 820рублей в начале, а через 2 года имеем в первом случае 1200р, во втором 1242. Доходности разные.
Смысл доходности показать под какую ставку по модели сложного процента растет ваша начальная сумма.
Формулы лишь описывают суть, они не должны менять смысл, что-то не так в ваших расчетах.
Вопрос ещё в том, в течение какого срока она растёт, и вся ли. Если вы считаете, что она вся растёт до погашения, как будто это вклад с выплатой в конце, то вы ожидаете 1242: 820*(1,23045^2)=1241,4859
А если не вся до погашения (а у облигаций это именно так, не считая безкупонных), то понятия «сколько будет в конце» вообще нет, т.к. разные суммы выходят из бумаги в разные даты.