Игры разума. Какой будет средний курс рубля и до какого значения он может укрепиться? Задачки и решения от 09.09.2023

В эти выходные на моём телеграмм канале подписчики решали задачи, которые часто возникают перед инвесторами. Преамбула была такой:

Предлагаю поиграть в простую математику. Буквально на днях было опубликовано, что средневзевшанный курс USDRUB в 2023 года по консенсус прогнозу ведущих аналитиков составит 85.5 рублей. Известно, что средневзвешенный курс с января по конец августа составил 81.7.

Сами же задачи формулировались следующим образом (предлагаю тем, кому интересно постараться решить их самому, прежде чем переходить к моим пояснениям):

Задача 1. Какой средний курс рубля должен быть оставшиеся месяцы года, чтобы по итогам 2023 он составил 85.5?

Варианты ответов:

1. 89,4
2. 92,9
3. 93,1
4. 95,5
5. 98,1

Задача 2. Волатильность курса рубля составляет 10% в год. Ниже какого значения курс не упадёт с вероятностью 95% в оставшиеся 4 месяца? (считать, что распределение нормальное, округлить до целых)

Варианты ответов:

1. 82
2. 88
3. 84
4. 91
5. 93

Решили? А теперь мои пояснения по решению!

Я немного слукавил, когда написал про простую математику. Простой она была только в первой задаче, во второй требовала больше знаний и я бы не сказал, что школьного уровня. Но давайте по порядку.

Правильный ответ в первой задаче — курс USDRUB 93,1.

Как это можно было посчитать? Нам известно, что средний курс с январь по август оставил 81.7, а также что аналитики по итогу года прогнозируют 85,5. Тогда необходимо составить простое линейное уравнение:

➡️ ((8/12)*81.7 + (4/12)*x=85.5

8/12  — это доля, которая в году приходилась на средний курс 81.7 за восемь месяцев, 4/12  — это доля, которая осталась в текущем году за 4 месяца. Решая это уравнение, получим:

➡️ x = [85.5 — (8/12)*81.7]*(12/4) = 93.1

Вторая задача похитрее.

Она неявно связана с первой как раз через средний курс. Но давайте сначала разберёмся с волатильностью, которая у нас составляет 10% в год. Волатильность в инвестиционной теории — это среднеквадратичное отклонение в математике или по другому это квадратный корень из дисперсии. Поэтому, чтобы нам правильно учесть волатильность на период в четыре месяца вместо одного года, можно пойти следующим путём:

➡️ Перейдём от волатильности к дисперсии, то есть возведём годовую волатильность в квадрат 10%=0.1 и (0.1)^2=0.01

Теперь посчитаем ожидаемую дисперсию на 4 месяца - 0.01*4/12=0.00333...

И вернёмся обратно к волатильности но уже на четыре месяца, извлечём корень из дисперсии на предыдущем шаге - (0.00333)^(1/2)=0,057 или 5,7%.

➡️ Следующим шагом нам стоит узнать насколько может измениться курс с вероятностью не превышающей 95%. Так как нам известно, что мы имеем дело с нормальным

распределением, то мы можем использовать квантиль данного распределения (квантиль — это значение, которое определяет процент данных, находящихся ниже или выше определенной точки в нормальном распределении), чтобы определить величину просадки с 95-ти процентным доверительным интервалом. В инвестициях этот показатель получил название Value At Risk (VAR). Итак с вероятностью 95% наши возможные потери в следующие 4 месяца не превысят:

VAR(95) = 1,645*5,7% = 9,38%

➡️ И последнее, осталось определить само значение курса ниже которого оно не упадёт с вероятностью 95%. Поскольку волатильность рассчитывается от среднего значения, а мы определили в первой задаче, что среднее у нас должно получаться 93.1, то:

93.1*(1 — 0.0938)=84,37 или по правилам математического округления 84.

Вот так решались данные задачи.