Основы (полином улыбки волатильности)

Файл: https://cloud.mail.ru/public/3N57/BbQsUnWWW

Остался последний штрих. Напомню. Когда мы синтезировали цену, то использовали нормальные распределения. В то же время мы закладывали корреляцию. Актив сильнее падает, чем растет. Таким образом, из суммы всех нормальных распределений, мы получили общее, не очень нормальное, но напоминающее логнормальное. А при оценки опциона, мы снова использовали нормальное N(d1/d2). Поэтому, в этом месте, нам надо поправить. Построить кривую улыбку волатильности ЛИСТ «улыбка»

В реальности вам достаточно цен трех опционов, что бы построить между ними кривую и получить цены на всех страйках. В нашем случае, мы должны задать эту кривую, что бы оценить виртуальные опцион для себя. Как будто опционов пока на рынке нет, но мы их начнем торговать. Получится некоторая зависимость цены опциона от времени, волатильности и направления БА. И хотя, я и другие члены СЛ, много об этом писал, чукчи, конечно, об этом не читали. Поэтому еще раз.

У нас есть центральный страйк ЦС. И страйки выше и ниже, через каждые 5% (к примеру). Первое, что нам надо сделать, оценить, как далеко цена от страйка сейчас. И это LN(цена/страйк). Второе, это понять, по времени/волатильности.  Наша сигма^2*T. То есть, квадраты средних приращений ln(сегодня/вчера), умножить на время до экспари. Ну и извлечь корень. Получим (сигма^2*T)^0.5. Найдем соотношение (LN(цена/страйк)/ (сигма^2*T)^0.5. Это выражение должно быть вам знакомым. Это первая часть d1 в формуле БШ. Результат вычислений обзовем «число».

Дальше. Берем волатильность ЦС и умножаем на скобку. Первый член 1, то есть сама волатильность. Плюс, наклон или СКОС распределения. В логнормале левый хвост тяжелее, поэтому линейная функция -1,5/6* «число», где -1.5 коэффициент наклона. Плюс загиб ЭКСЦЕСС или пик распределения.( 0,5/24* «число»)^2. 0,5 степень загиба или величина пика распределения. На этом можно остановиться. Это полином второй степени. Характеристика нашего распределения БА, или чем оно отличается от Гауса. Более тяжелым хвостом (скосом) и более высоким пиком (эксцессом). Второй и третий моменты распределения. Но мы пойдем дальше и возьмем четвертый момент. Не помню как он называется, поэтому назову его «хрень». «Хрень» определяется так же, только в ^3 степени. Немного приплющивает дальний хвост. Меняя степень ^4, ^5… ^n мы получаем Nые моменты и так до N. Однако, мы остановимся на «Хрени».

Так что, можно нарисовать любую улыбку, что бы вписать ее между бидов и асков. Теперь мы меняем время до экспари и крылья нашей улыбки начинают подниматься до небес волы в 1000%. Что не очень логично. Поэтому мы их прижмем через экспоненту. 1-ЕХР(-наша улыбка). Тогда за час до экспари (1/24) на дальних страйках вола не будет под 1000%, а будет вменяемой. А улыбка будет раскрываться, стремясь к дельта функции. В конце она превратится в 0.

В общем все. Можете менять на листе «улыбка» время, наклон, загиб, хрень и смотреть, как меняется улыбка. Нам же это надо, что бы вставить полученную с улыбки волатильность оценку опциона.

Только тут возникает проблема. Коэффициенты наших наклонов и загибов с хренью начинают плавать. Улыбка то сворачивается, то разворачивается. То липкая дельта, то липкий стрйк. И начинаются поиски истины. Какой должна быть улыбка, как найти коэффициенты, как правильно померить время и надо ли включать в расчеты выходные и Новый Год. Но проблема лежит совсем в другой плоскости.

Сформулировать решение этой проблемы можно так: «Цена опциона, это стоимость его замещения» Или, цена опциона, это стоимость его дельтахеджа. В прошлом топике я показывал, как колбасит цену опциона, если мы возьмем волатильность с рынка. Так вот такого быть не должно. Там «тазики» стоят от маркет мейкеров. И описывается этот процесс известной (по предыдущим топикам) логистической формулой Орнштейна-Уленбека. Суть очень проста. Вола не может упасть, ее там подберут и не может вырасти ее там продадут. Естественный компрессор-лимитер. И зависимость очень простая. Все зависит от ресурсов на рынке. Это про наших кроликов. Популяция растет по экспоненте, минус съеденные лисами, случайным образом. Поэтому, нашу улыбку мы подставляем в формулу ОУ и получаем результат. Лист «Просто Call». И что мы видим? Экви опциона, симметрично экви ДХ. То есть, цену опциона уже не болтает так сильно. Вы можете придумать любой страйк, но ДХ и опцион будут стремиться к равновесию, а результат стремится к 0. Даже с учетом того, что у нас ДХ весьма условный 1 раз в день. Теперь, если я подставлю волу по ОУ в нашу стратегию Граальчик, то не все так радостно. Но и не все так безнадежно. Наш финансовый результат HV-IV+случайная ошибка. В общем, мы могли и не париться с формулами БШ, а просто взять вегу и волатильность опциона и БА и получить тот же результат. А заодно сделать вывод, что лучше ДХ много опционов, чем одного.

В конечном итоге мы получаем новый ценовой ряд = опцион-ДХ.  Который стремиться к нулевому МО. Или ДХ должен быть равен цене опциона. Но по дороге эту конструкцию колбасит. То есть, очень флетовая история. А что мы делаем во флете? Натягиваем сетку. А что такое сетка из лимитников? Это проданный стреддл или стренгл. А как управлять проданными краями? Ответит нам теория Коровина-Анохина. То есть правильный МаниМ или собственный брокер. Ну и теперь вы сами можете взять лист «Пробой уровней» и подставить туда ценовой ряд «опцион-ДХ». У вас получится программа маркет мейкера. В которой, перепуганных кроликов собирают на корм хитрые лисы. А вся их хитрость, что они стоят лимитками выше и ниже текущей волатильности. Кролики сами к ним прыгают, рассчитывая, что можно купить колл, при хорошем движении заработать много денег, и наконец то поесть. Я ни чего не знаю про движение, но знаю, что лисы сыты. А это важно. А то кролики размножаться и биржа начнет торговаться по уровням и волнам Вульфа. 

Все это видно на графиках в файле, если внимательно присмотреться. И кролики и лисы, быки и медведи, волки и бараны.

На этом мы закончим серию топиков «Основы». Какие выводы можно сделать. О случайности. Да мы использовали всюду случайные числа. В какой то степени и случайные параметры. Получился ли у нас случайный результат? Да нет (нужное подчеркнуть). Скорее результат у нас закономерный и очевидный. Мы зависим от фундаментальных параметров рынка. От логистики. От количества кроликов на одного лиса. От Орнштейна Уленбека или любой другой логистической функции. К счастью кролики об этом не знают, хотя и используют понятия перекуплено/перепродано по CCI. Поэтому аналитика рулит сильнее, чем тех анализ. Если по серьезному. Ну и пора отдыхать. Кто куда поедет?

Если интересно…