10 апреля 2019, 02:13

Казиношная задачка - specially for Vincent Demidoff (нелюбитель математики)

Доброй ночи, коллеги!

Ну, раз математика ничего не стоит в трейдинге — попробуем применить ее в реальной жизни.
Итак — поздней ночью мы зашли в казино.
Выбрали рулетку и сделали 100,000 бросков (попросили крупье быть пошустрее). Зеро заклеили скотчем — выпадает только красное и черное.
Потом повторили этот эксперимент 100500 раз. Получили 100500 различных траекторий (красное +1, черное -1)

ВОПРОСЫ:
1. Какой процент из 100500 траекторий вернется в нулевую точку? (красное выпадет примерно столько же раз, что и черное)
2. Как будет устроена типичная траектория?

С уважением

Общее развитие

Мальчик buybuy

Lisboa

420

23 492

с 11 августа 2018

28 Комментариев

_sk_
10 апреля 2019, 08:35
При таком случайном блуждании типичная траектория всё реже и реже будет возвращаться в нулевую точку, так что будут периоды затяжного выигрыша и проигрыша. При этом, основное время траектория будет проводить вдали от нулевой точки и «казаться нечестной». Для тех, кто хочет разобраться, почему это так, стоит почитать про закон арксинуса.

Математическое моделирование приводит примерно к таким графикам.

+3
- Мальчик buybuy
  10 апреля 2019, 14:37
  _sk_, уважаемый
  
  Вы абсолютно правы.
  Однако все еще страннее — у типичной траектории экстремум будет приходиться на начало или конец.
  В частности, типичная траектория — заведомо выигрышная или заведомо проигрышная.
  
  С уважением
  +1
Dmitryy
10 апреля 2019, 11:46
Поскольку многоуважаемый мэтры молчат, позволю себе высказать предположение. Если зеленых и красных одинаковое количество, 18 красных и 18 зеленых, и все они расположены равномерно, т.е. заклеенных зеро просто не существует, то модель по-сути ничем не отличается от подбрасывания монетки:

E[S(t)] = 0

Через большое количество шагов, результат будет нормально распределен относительно нуля. Т.е. процент около нуля можно найти по формуле плотности вероятности для нормального распределения:

сигма = 1, Мю = 0, x = 0, получаем 1 / SQRT(2*pi) = 0,3989422804, т.е. примерно 40% будет сходится к нулю.

0
- Мальчик buybuy
  10 апреля 2019, 14:36
  Dmitryy, и все же прав уважаемый _sk_
  
  К сожалению, решение неэлементарное.
  
  С уважением
  +1
  - Dmitryy
    10 апреля 2019, 15:55
    Мальчик Buybuy, с уважением конечно, но прошу просветите, что я делаю не так, буду благодарен.
    
    Создал следующий код для моделирования (в LINQPad):
    
    var rnd = new Random();
    var arr = new List<int>();
    for (var j = 0; j < 105000; j++)
    {
    var sum = 0;
    for (var i = 0; i < 100000; i++)
    {
    sum += rnd.Next(0, 2) > 0? 1: -1;
    }
    
    arr.Add(sum);
    }
    arr.Dump();
    
    Подождал примерно 5 минут, скопировал в эксель и получил такую гистограмму:
    
    0
    - Мальчик buybuy
      10 апреля 2019, 16:06
      Dmitryy, Вы правы — ерунду написал
      
      Хвосты, конечно, распределятся нормально, т.к. у C(T) такая же форма распределения, что и у C(1).
      Правильно написать, что большую часть времени траектория проведет в минусе или в плюсе.
      
      Мои извинения
      +1
      - Dmitryy
        10 апреля 2019, 16:08
        Мальчик Buybuy, о, спасибо, теперь мне понятнее.
        0
    - Мальчик buybuy
      10 апреля 2019, 16:18
      Dmitryy, тем не менее
      
      Большинство траекторий вернется в полосу +-СКО*корень(T), а не к начальному значению )))
      
      С уважением
      0
      - Dmitryy
        10 апреля 2019, 17:58
        Мальчик Buybuy, а как тут правильно посчитать СКО?
        0
        Мальчик buybuy
        10 апреля 2019, 18:01
        Dmitryy, элементарно
        
        Если случайная величина с вероятностью 1/2 принимает значение 1, а с вероятностью 1/2 принимает значение -1, то и дисперсия, и СКО = 1.
        
        С уважением
        0
        Dmitryy
        10 апреля 2019, 18:09
        Мальчик Buybuy, да, это для моделирования одного случая из 100,000, а у нас 100,500 таких случаев, или это я уже смешиваю не смешиваемое)
        0
        Dmitryy
        10 апреля 2019, 22:16
        Мальчик Buybuy, кстати если отсортировать результаты эксперимента, и построить график, получится нечто подобное графику арксинуса:
        
        Совпадение?
        
        0
- ch5oh
  27 апреля 2019, 00:13
  Dmitryy, Вы неправильно прикинули дисперсию после 100500 бросков.
  
  Даже из Вашей формулы видно, что вероятность оказаться в малой окрестности нуля исчезающе мала (и ее надо считать не подстановкой параметров в плотность вероятности, а интегрированием по интервалу).
  
  Далее, поскольку дисперсия распределения растет как N, то искомая вероятность стремится к 0 с ростом числа бросков. Думаю, можно даже прикинуть скорость сходимости.
  +1
Борис Гудылин
10 апреля 2019, 14:36
«Что нам делать с пьяным матросом?»
0
- Мальчик buybuy
  10 апреля 2019, 14:39
  Борис Гудылин, элементарно
  
  Пусть 105000 матросов сделают 100000 шагов каждый
  Тогда практически ни один из них через 100000 шагов не вернется в начало
  
  С уважением
  0
  - Борис Гудылин
    10 апреля 2019, 16:16
    Мальчик Buybuy, спасибо.
    0
- Мальчик buybuy
  10 апреля 2019, 16:07
  Борис Гудылин, и здесь ошибся
  
  Сегодня в п.1 в роли «пьяного матроса» выступил я (((
  
  Мои извинения
  0
  - Мальчик buybuy
    10 апреля 2019, 16:18
    Мальчик Buybuy, тем не менее
    
    Большинство матросов вернется в полосу +-СКО*корень(T), а не к начальной точке )))
    
    С уважением
    0
- Ed-ti
  12 апреля 2019, 20:14
  Борис Гудылин, Какую разновидность задачи следует рассматривать?
  1) Когда матрос движется из точки А в точку В, так сказать «по коридору», или
  2) Когда матрос может двигаться на все 360 градусов.
  0
  - Борис Гудылин
    12 апреля 2019, 22:57
    Ed-ti, не совсем понимаю, почему вопрос адресован мне.
    
    Не стоит себя ограничивать, добавьте еще и трехмерный вариант.
    1) уже в основном разобран, выше приведена красочная развертка по времени.
    Эта задачка в разных вариантах неоднократно обсуждалась на SL.
    Мне такие не очень нравятся, занимаюсь ими только по необходимости.
    Как ни странно, единственное, что у меня оказалось в руках при первом знакомстве с графиками 10 лет назад, это был тот самый корень(T) и неконкретное ощущение фрактальности.
    0
А. Г.
10 апреля 2019, 14:43
На закон арксинуса намекаете
0
- Мальчик buybuy
  10 апреля 2019, 14:46
  А. Г., так точно
  
  В слабой и сильной форме.
  Не хотел начинать, просто тут один опционный коллега постоянно на полном серьезе утверждает, что 2/3 траекторий неизбежно возвращаются к «центральному страйку»… Имеется в виду не в итоге, а именно доля модельных траекторий одинаковой длины.
  А с интуицией в ТВ напряжно. У меня уж точно. Проще посчитать (((
  
  С уважением
  0
  - А. Г.
    10 апреля 2019, 14:51
    Мальчик Buybuy, для процесса с отрицательными корреляциями соседних приращений и должен возвращаться чаще, а вот с нулевыми — вряд ли такая доля будет. Так что от свойств процесса зависит частота «возврата».
    0
    - Мальчик buybuy
      10 апреля 2019, 14:53
      А. Г., не, ну я же не шутил )))
      
      smart-lab.ru/blog/532863.php
      
      С уважением
      0
      - А. Г.
        10 апреля 2019, 14:57
        Мальчик Buybuy, я с трудом воспринимаю описание математических моделей словами. Я даже если книжки по трейдингу листаю и не вижу хотя бы одной формулы или таблицы с цифрами на 5 страниц в среднем, то закрываю и кладу обратно на полку книжного магазина.
        0
        Мальчик buybuy
        10 апреля 2019, 15:01
        А. Г., та же ерунда
        
        Вопреки заявлению Эйнштейна, на пальцах можно объяснить далеко не все.
        
        С уважением
        +1
ch5oh
27 апреля 2019, 00:34
Черт.
Только собирался пилить пост с моделированием и картинками.
А уже все разжевано, оказывается.
=) Вы мне сэкономили много времени на подготовку материала, благодарю.

А коллеге Дмитрий Новиков предлагаю взглянуть на ситуацию двумя другими способами.

с1. Бросаем 100 миллионов раз. Траектории являются СВ с распределением N(0, 10000)
Чтобы посчитать вероятность оказаться около нуля предлагаю определить понятие "около" как "0.001*СКО". В нашем случае это 10.

Итого, прошу коллегу Дмитрий Новиков посчитать вероятность того, что после 100 миллионов бросков СВ окажется в отрезке [-10; 10].

На всякий случай напоминаю, что если СВ является N(0,10000), то вероятность надо вычислять интегрированием Phi(x|0,10000) по заданному интервалу.

с2. Концы траекторий действительно стоят то слева от нуля, то справа.
Поэтому визуально возникает неправильное интуитивное ощущение, что самый вероятный исход для конца траектории — нуль.

Чтобы объяснить своей интуиции в чем она облажалась, надо рассмотреть не облако «концов», а поставить задачу формально и изучить распределение другой случайной величины.

Вместо изучения суммы (обозначим S), надо изучить "расстояние до нуля".
То есть |S|

ПС И реверанс господину Борис Гудылин :
Можно бросить шарик 100 миллиардов раз, даже триллион раз. Даже гуглион раз. Тем не менее, итоговое распределение останется дискретным с шагом 1.

При этом если количество бросков нечетно, то сумма никогда не окажется в нуле.
S всегда будет >= +1 или <=(-1).

Выражаясь формально, S принадлежит множеству Z\{0}
+1
- Dmitryy
  27 апреля 2019, 15:19
  ch5oh, думаю всё же, еще один пост не будет лишним, тем более здесь коллеги уже не прочтут)
  0