Основы (дифуры Ито)

Был такой дядька. Киёси Ито. Работал в статистическом  управлении и писал книжки. Интернета тогда не было, поэтому он, как и Тимофей Мартынов, делал книжки из бумаги и писал в них ручками. Писал он о теории вероятности и стохастике, то есть про кроликов, и внимание. За эти работы он получил степень доктора философии. То есть, тут не столько вопрос в математике, сколько в философии.

Дифур это такой способ записи философской мысли. Когда вы рисуете каналы по лоу на графике, вы даже не задумываетесь, что это касательная, а значит производная функции цены от времени. Для записи мысли или идеи мы воспользуемся дифурами, а потом переведем их. В общем, их особо ни кто не решает. Берут справочник производных и вуаля.  dx/dt = α x => x(t) = x0 e^αt. Уравнение разряда конденсатора dx/dt.  У каждого уважающего опционщика такой справочник есть. Это греки опционов. Там дифур и его значение в обычной формуле, куда можно уже цифры подставить. И все.

Из предыдущего материала мы помним. dx = µ x dt + σ x δW. Мгновенное изменение цены=среднему изменению+размеру изменения*случайное изменение. Давайте этим философским языком пообщаемся. И легче всего это понять методом Кирилла Ильинского.

Мы не скажем про случайности, распределения, улыбки, логнормали. Будем, как нормальные люди, смотреть на цены. Купим колл, и продадим БА, получим стреддл. У нас получится профиль в виде параболы.

Парабола у нас получилась, потому что x^2. Ну и теперь посмотрим, откуда у нас берется тетта. А тетта это изменение кола за время t. Тогда можно записать изменение цены кола dC/dt, С-колл. И вы помните, что в табличке этому выражению есть соответствующая формул. Теперь, цена БА S у нас начинает меняться, движемся вправо. Мы движемся по проекции параболы. И у нас возникает первая производная. Касательная к параболе в точке P/L. Помните, в школе через тангенс находили? И это производная наша дельта dC/dS (изменение цены кола от изменения цены БА). Если на величину этой дельты мы продадим еще актива, то начнем, как бы сначала (дельта0), и мы продадим. Еще нас интересует, как эта дельта меняется. А это вторая производная. И мы запишем d^2*C/d*S^2, что есть гамма и у нас есть ее перевод в обычную формулу. В то же время при движении вверх у рынка начинает меняться доходность. Актив начинают продавать и цена возвращается назад на цену «раз».  Цена вернулась, мы откупили, то, что продали, выровняли дельту, сделали денег.  Так как цена сходила вверх вниз, то мы возьмем только половину ее всего движений ½. Кроме того у нас происходило изменение цены на величину (разницу) delta (это не дельта опциона, а такой треугольник перед S, обозначение) deltaS. А так как изменение цены туда сюда, то это изменение deltaS^2 (возводим в квадрат). У нас получится dC/dt=1/2*( d^2*C/d*S^2)* deltaS^2. В этом месте мы должны определится. Что лучше 1000 рублей и дельта 100 или 500 рублей и дельта 100. Что вы будите анализировать цены или доходность. Поэтому мы запишем deltaS^2=S^2*процент изменения^2. Процент изменения назовем «σ», а ее квадрат дисперсией. Получили dC/dt=1/2*( d^2*C/d*S^2)* S^2* σ^2. И это и есть формула БШ. Так как мы сходили наверх там продали дорого, а вернувшись, купили дешево, то у нас есть гешефт и мы хотим зафиксировать прибыль. Так все хотят зафиксировать прибыль. Поэтому опционы продают, а когда продают, цена становится дешевле. Таким образом ваша тетта зависит не от времени до экспирации, а от того как ходит актив. Не от стакана и ликвидности, а от того, кому надо прибыль зафиксировать. Если бы цена не сходила туда сюда, опцион бы остался по той же цене.

Теперь берем табличку греков и подставляем. Тетта=1/2гамма*ценаБА^2*волатильность^2. Тетта это ваш доход. Давайте в этих же терминах обсудим без опционов. Конечно, если вы купили один фьючерс, поставили стоп лосс и тейк профит, то это несколько другое. Это как в игровой автомат бросил 15 копеек и проиграл. Там другой расчет. Я о том, что вы сделали позицию. 50% акций 50% облигаций. Дельта вашей позиции dD/dS, где D объем купленный акций, а S весь ваш капитал. Это может быть цена одной бумаги, или подобранного портфеля, но мы уже знаем, что меняться она будет как S^2* σ^2.  Поэтому, ваш доход dD/dt  будет равен S^2* σ^2 * 1/2 второй производной *( d^2*D/d*S^2)*0.5 и так как у нас 50% капитала задействовано, то наш весь капитал это ЦС.

Пишем решение. Приравняем к нулю  1/2Гамма* S^2* σ^2  — Тетта=0. Гамма, 1/2* N`(d1)/(S σT^0.5)* (S^2* σ^2). Сокращаем S и σ получаем тетту. И правда 0. Тогда наш доход D=тета. И если наша стратегия покупать на росте, продавать на падении, то тета отрицательная. D=-(S*N`(d1)*σ)/(2*T^0.5). Давайте время Т возьмем один год, а годовую IV волу 20%, капитал за 1 000. Получим (1/(2Пи)^0.5*1000*0.2*1)/2=-40 и это с минусом. Ну и понятно, откуда это взялось. Портфель ребалансируется, покупаем дорого, продаем дешево. Берем цифры, S=1000, вола 20%, время год, подставляем в калькулятор опционов и получаем, что наша премия 80. Куда 40 рублей делось, не знаю. Может кто расскажет?

ЗЫ Коль пошли такие сложности. Нужна визуализация. В следующий раз я сделаю файлик из эксель и мы построим график цены. Построим мы его из случайный чисел. И он будет полностью соответствовать движению настоящего БА. С уровнями, волнами, пробоями. Вы сможете на нем тренироваться не только в опционах, но и в обычном трейдинге. И там поговорим о случайностях.

Если интересно…