Основы (модель аддитивного независимого дискретного случайного блуждания)

Давайте не бегать по Блекам и Мертонам, а обратимся к нашим. Андрей Колмогоров из города Тамбов. Родившись еще при царе и прожив в СССР на бирже поторговать не успел. Но написал пару книг по которым учились Блек Шоулз и Мертон. Мощный дядька. Поэтому пойдем по его логике, аксиоматике теории. Она, примерно такая. Святая троица. Пространство элементарных событий. Которые уже не поделишь. Один тик. Цена или вверх или вниз. Одновременно не возможно. Если таких событий много, то мы получим Распределение вероятности. Множество всех возможных исходов. И сигма алгебра. Это какие математические действия мы с ними будем делать и что получать. Вот мы с этой сигмой-алгеброй и попробуем разобраться.

Для этого надо определиться, что нас интересует. Или должно интересовать. Цена? Лично меня не интересует. Вот есть цена Магнит АО. Пока у меня нет этих акций, то для чего мне знать их цену? Если только знать, на сколько я могу купить. А после того, как я их куплю, цена мне тоже не интересна. Мне интересна доходность моего вложения от начала до конца за время Т-Т0. А это есть изменение цены. Поэтому мы больше цену трогать не будем, а будем работать с ее изменениями и нашей доходностью. Изменение цены мы посчитаем через сигма-алгебру. А именно разница логарифмов. В предыдущем топике я описал почему. И получится очень удобно. Доходность +1% умножить на вложенный капитал= фин рез. Цены самого актива тут нет. Вот такой парадокс сигма-алгебры. Теперь нас интересует наш вложенный капитал и изменение доходности.

Первое что мы найдем, среднюю доходность. Берем изменение за каждый день (например) складываем и выходим на конечную доходность. Делим на количество дней.  А ряд у нас может быть вот таким +1-1+1-1+1=1 это доходность за 5 дней, а в среднем за день 1/5.  Фиксируем прибыль и продолжаем -1+1-1+1-1=-1 в среднем -1/5, а за два захода 0. Линейно так получилось. Давайте искать другие закономерности.

Эти математики странные люди. Берут всякие цифры и ну их складывать, делить и умножать.  Вот как нормальный человек такое придумает: (1+1/n)^n. Нафига? А получилась экспонента.  И как тут не вспомнить Бином Ньютона? (а+b)^n или ряд Тейлора (1+х)^n. Давайте и мы сделаем что то типа этого. Возьмем нашу доходность и возведем в квадрат. 1^2-1^2… Таким образом мы уберем все отрицательные числа и наша средняя будет равна 1 в первом и во втором случае. У нас получится. Простая средняя (за 10 (+1-1)=0), а квадратная средняя (за 10 (+1+1))=1. По хорошему, уже это должно натолкнуть вас на мысли. Если у вас средняя 0, а квадратная средняя 1, то надо продавать при изменении на 1, и покупать при изменении на -1. Для этого попросим ch5oh  нагенерить нам много последовательностей +1-1+1+1+1-1-1-1 и будем изучать свойства этих последовательностей. Для этого у него есть компьютер. У Энштейна его не было, но последовательность он нашел, бухая с матросами. И если наше число Е (или+1 или-1(случайно выбранных)), то меняться такая последовательность будет как  Е*n^0.5. Где n это количество наших чисел. Запишем и запомним это. Обозначим буквой W. И можно было бы назвать такой процесс моим именем, но меня опередили Винер и Марков. W=Е*T^0.5.

В данном случае мы брали +1-1. И нам надо найти масштабный  коэффициент, относительно нашей реальности. А реальность в том, что наше изменение доходности может быть +3%-10%+1%. Тогда, все равно, мы находим квадратное среднее, извлекаем из него корень и получаем среднее, как бы, данная последовательность, где мы взяли числа по модулю (без знака). Или, возвели в квадрат и извлекли корень. Получим. Сигма*W. Или сигма*E*Т^0.5. Можно я обозначу это как «сигWt», для удобства. И отложим это в голову, что бы потом туда вернуться.

А это означает, что если наши кролики будут дохнуть через 6 лет +-1 год. И этот +- штука средняя и случайная, как ее найти. Если 6 лет это среднее, то половину кроликов уже сдохло, а половина еще сдохнет ½ или 50/50. Так как они дохнут как E^2*Т, что мы видели выше. То дохнут они по параболе опущенной ветвями вниз и это можно записать как -0,5*E^2*T.  Тогда получится очень категорично. Что до 5 лет они вообще не мрут, а после 7 точно мрут, что не совсем реально. Нам надо больше статистики, анализировать бесконечное количество смертей. Но мы это уже делали (1-1/n)^n, помните, и увеличивая до бесконечности n получили 2,7…. А это экспонента. Тогда exp(1/2*Е^2*T). И если кто не поленится и построит график в экселе то получит купол распределения имени Гауса. И мы, как ни будь потом, сравним ее с нашими реальными смертями, а пока остановимся на этом.

Поэтому цены S через время Т можно представить как S=S0+e^at+W*волатильность. С этого момента начинаются комментарии. А если цена со 100 уйдет на 500. А если вола вырастит в 10 раз. Что бы пресечь такие рассуждения мы поступим так. Поделим наше время на такие маленькие кусочки, что бы в них мог вместиться один тик. Получим такое выражение.

dx = µ x dt + σ x δW

И это дифур. И в следующий раз его решим. Запросто.

Если интересно…