В поисках Истины или Почему мы вычисляем именно матожидание?

Некоторое время назад после подробного обсуждения с коллегами вопроса "Нормален ли рынок и если ненормален, то какой он на самом деле?" от других коллег прозвучало недоумение: "А зачем тебе копаться в этих дебрях? Какой в этом смысл?". Короткий ответ будет неполным, а полный ответ с примерами и философским вопросом может оказаться интересен (или даже полезен коллегам).

1. Итак. Быстрый ответ состоит в разнице инженерного (институтского) и научного (университетского) мышления.

Как работает научное мышление: необходимо не просто запомнить формулу (зачастую даже собственно запоминание формулы даже не является целью изучения вопроса). Фокус будет находиться на методе получения этой формулы. Причем должны быть абсолютно прояснены все подробности: почему? откуда это следует? какие есть ограничения? и т.д.

Обладая таким багажом ученый не просто лепит Формулу направо и налево. Он садится, вникает в предмет. В условия функционирования системы. При необходимости понимает в чем отличие конкретной текущей ситуации от классических уже известных случаев. При необходимости ученый повторяет все этапы известного ему метода индукции с новыми вводными и получает новую формулу. Конкретно для данного случая.


В опционном мире это будет выглядеть так:
Инженер: а! Формула Блека-Шолза на Википедии. Там есть формулы для греков. Подставляем. Дельта моей позиции 50, гамма 0.000500. Блин, а почему я постоянно сливаю? Я же купил по теорцене биржи!?!?!?

Ученый: формула Б-Ш? Хм! Чето она мне не нравится. А, понятно: формула верна только при постоянной сигме. Сажусь считаю как положено в условиях наличия улыбки. Ну, страшноватые формулки в результате. Но ничего. Компьютеры теперь быстро считают. Подставляем. Дельта позиции Инженера 45, гамма 0.000350. Ну, понятно почему он сливает: потому что дельта у него неправильная аж на 5 единиц.

2. Пример пользы от копания в разделе «сноски» где много мелкого шрифта.

Нам всем прожужжали уши про то, что «рынок эффективен и непредсказуем и куда он пойдет никто не знает». Вверх или вниз — 50-на-50. Как в анекдоте про блондинку и динозавра. Что это будет означать на опционном языке в идеальном мире Блека-Шолза? Интуитивно возникает ощущение, что это будет означать симметричность распределения для логарифмов цен. Вверх на 5% так же вероятно, что вниз на 5%. Именно в этом будет выражаться равноправие направлений вверх и вниз. Логично? Все согласны?


Отлично.

Теперь вспоминаем, что нас в умных книжках научили, что цена опциона равна матожиданию выплат на дату экспирации:

CALL = E [ CallPay ]

Подставляем, интегрируем и получаем, что опционы будут в разы дороже, а путы в разы дешевле наблюдаемых на рынке цен. Почему? Потому что распределение цены получается как "экспонента от логарифмов". Выражаяь простым языком лог-нормальное.

Так в чем подвох? Подвох в том, что лог-нормальное распределение крайне несимметрично. У просто нормального распределения совпадают основные характеристики: среднее, мода и медиана. У логнормального распределения они существенно разные.

В частности, среднее равно exp(+0.5*sigma*sigma)

А при таком среднем путы никому не нужны. Покупай колы (или просто базу) — рынок в целом всегда растет — колы колосятся и наливаются прибылью.


И тут как раз идет сноска мелким шрифтом: чтобы восстановить справедливость (и испортить сон всем долгосрочным инвесторам) нужно в исходное распределение логарифмов добавить ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ДРЕЙФ в размере ровно (-0.5*sigma*sigma). При типичной сигме 30% годовых это будет (-4.5%) годовых. Обычно, эту сноску прячут за умным словом "лемма Ито". Кто-то копался в этой лемме? Разбирался почему ее применяют направо и налево? Вряд ли. Получите и распишитесь. Привет всем долгосрочным инвесторам! Вы думаете, что "рынок всегда растет"? Вот незадача. А рынок думает, что он ВСЕГДА ПАДАЕТ. На (-4.5%) в год!


А почему же тогда рынки периодически штурумуют новые вершины? С чисто математической точки зрения в этом идеальном мире это вызвано как раз резкой асимметрией логнормального распределения. У него всегда есть вероятность получить очень большой плюс. Хоть и с маленькой вероятностью. Думаю, теперь понятно почему так трудно ловить аптренды в акциях и индексах? Они бывают. И рост бывает феноменальным. Но редко. Кто и где выстрелит в следующий раз — об этом в идеальном мире Блека-Шолза не знают даже сами эти акции.

А теперь главный вопрос записи.

3. Почему для получения «справедливой цены опциона» мы вычисляем именно математическое ожидание?

Прошу коллег опционщиков ( Каленкович Алексей (enki) , bstone, Дмитрий Новиков , Стас Бржозовский , Борис Боос , Московский Лоссбой , А. Г. , Юрий М. , Дон Маттео , Rustem, KLoYH, Кирилл Браулов, baron_samedi, wrmngr, НеГрустин   ) а также любителей задачек ( Мальчик Buybuy , FZF , Sergey Pavlov , anatolyutkin , Борис Гудылин , ivanovr , toshackers , Zверобой  ) высказать свои соображения на этот счет. Лично я вдруг понял, что не понимаю этого (неудовлетворительно понимаю даже после размышлений над этим). Может быть, это можно разобрать на каких-то простых примерах типа лотерей с некими правилами участия?

Если это является следствием каких-то соображений о «справедливости» или «равновесности» системы?  Тогда в чем состоят эти соображения? Почему в качестве цены не берется медиана или мода? Или какая-то другая характеристика или более сложная функция от выплат? Наконец, почему опцион рассматривается в изоляции от других факторов (мы же понимаем, что как минимум всегда существует базовый актив и всегда существует опцион другого типа на том же страйке, а также существуют другие опционы на тот же базовый актив)?

PS Тимофей Мартынов, добавьте пожалуйста в Редактор постов возможность набирать формулы? Не знаю как это делается. Или MathML подключить или чтобы в ТеХ-овской разметке можно было записать. Задачка наверняка давно решена на миллионе сайтов.

Заранее благодарен!