Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги

Чтобы окончательно поставить точку в вопросе о том, почему дельта опциона не равна вероятности выхода опциона в деньги, давайте просто посчитаем эту вероятность.

Для экономии места и времени я буду использовать кое-какие обозначения и преобразования, которыми я пользовался в посте "Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов".

Рассмотрим логнормальное случайное блуждание:



где dX — Винеровский процесс.

Определим вероятность того, что цена из начальной точки S во время t окажется в диапазоне от a до b во время t':



где функция p(S,t;S',t') — это функция плотности вероятности перехода. Т.к. она связывает переход цены из одной точки в начальный момент времени в другую точку в конечный момент времени, то она удовлетворяет прямое и обратное уравнение Колмогорова. Т.к. нас интересует вероятность выхода в деньги в конечный момент времени, мы используем прямое уравнение Колмогорова:



Значение цены в начальный момент времени нам известно, поэтому мы можем сформулировать начальные условия для решения уравнения (используя дельта функцию):



Решением уравнения будет:



Рассматриваем вероятность выхода опциона call в деньги, поэтому интегрируем ее от страйка и выше:





где




Похож ли результат на дельту опциона call N(d1)? Похож, но есть и отличия. Первое — это знак перед 0.5*sigma^2, он противоположный. Это значит, что вероятность выхода в деньги гораздо больше похожа на N(d2), чем на дельту, равную N(d1).

Но есть и еще одно довольно существенное отличие. В дельте опциона у нас безрисковая ставка, а в формуле вероятности выхода в деньги — тренд базового актива.

И это, во-первых, совершенно логично, а во-вторых, делает приравнивание дельты к вероятности выхода опциона в деньги довольно грубой ошибкой, если до экспирации далеко и тренд базового актива может еще внести ощутимый вклад.






Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов