Теория вероятности

Давайте разомнемся. Предлагаю решить следующую несложную задачу:

Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной — главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы — менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ — соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей — коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой — с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

А вот обещанный скрипт. Можно просто вставить в файл monty-hall.html и открыть в браузере:

<html>
    <head>
        <script type="text/javascript">
            function getCarDoors()
            {
                var doors = [0, 0, 0];
                var carIn = Math.floor(Math.random() * 3);
                doors[carIn] = 1;
                return doors;
            }

            function game(tries)
            {
                var res =
                {
                    changedAndWon: 0,
                    changedAndLost: 0,
                    keepAndWon: 0,
                    keepAndLost: 0
                };

                for (j = 0; j < tries; j++)
                {
                    var d = getCarDoors();
                    var myChoice = Math.floor(Math.random() * 3);
                    var changeChoice = Math.floor(Math.random() * 2) == 1;
                    var otherOpen;
                    var otherClosed;
                    var opened = false;
                    for (i = 0; i < 3; i++)
                    {
                        if (i != myChoice && d[i] == 0 && !opened)
                        {
                            otherOpen = i;
                            opened = true;
                        }
                        else if (i != myChoice)
                        {
                            otherClosed = i;
                        }
                    }
                    var selected = changeChoice ? otherClosed : myChoice;
                    if (d[selected])
                    {
                        if (changeChoice)
                            res.changedAndWon++;
                        else
                            res.keepAndWon++;
                    }
                    else
                    {
                        if (changeChoice)
                            res.changedAndLost++;
                        else
                            res.keepAndLost++;
                    }
                }
                return res;
            }

            function presentGame(count, divId)
            {
                var res = game(count);
                var changeOkProb = res.changedAndWon / ((res.changedAndLost + res.changedAndWon) > 0 ? (res.changedAndLost + res.changedAndWon) : 1);
                var keepOkProb = res.keepAndWon / ((res.keepAndWon + res.keepAndLost) > 0 ? (res.keepAndWon + res.keepAndLost) : 1);
                var text = "<tr><td>Количество попыток: " + "</td><td><b>" + count + "</b></td></tr>";
                text += "<tr><td>Не изменил решение и выиграл: " + "</td><td>" + res.keepAndWon + "</td></tr>";
                text += "<tr><td>Не изменил решение и проиграл: " + "</td><td>" + res.keepAndLost + "</td></tr>";
                text += "<tr><td>Изменил решение и выиграл: " + "</td><td>" + res.changedAndWon + "</td></tr>";
                text += "<tr><td>Изменил решение и проиграл: " + "</td><td>" + res.changedAndLost + "</td></tr>";
                text += "<tr><td>Вероятность выиграть, при изменении решения: " + "</td><td>" + "<b>" + (Math.round(changeOkProb * 10000) / 100) + "%</b>" + "</td></tr>";
                text += "<tr><td>Вероятность выиграть, без изменения решения: " + "</td><td>" + "<b>" + (Math.round(keepOkProb * 10000) / 100) + "%</b>" + "</td></tr>";
                document.getElementById(divId).innerHTML = "<table>" + text + "</table>";
            }
        </script>
    </head>
    <body>
        <h1>Парадокс Монти Холла</h1>
        Количество попыток:
        <input type="text" value="100" id="tries" />
        <input type="button" value="Запустить"       onClick="presentGame(document.getElementById('tries').value, 'data');" />
        <br />
        <div id="data"></div>
    </body>
</html>

теория вероятности логика парадокс

Roland

Москва

770

с 1 декабря 2011

62 Комментария

TovaL
30 августа 2016, 07:18
без разницы
+1
- Roland
  30 августа 2016, 07:19
  TovaL, нет, не все так просто
  0
  - TovaL
    30 августа 2016, 07:32
    Да уж наверняка, если вопрос задан )) Тогда выбор лучше не менять. Формулу ток чет не соображу. Представил визуально просто как 100 конкурсов. Получается ведущий подтвердил с некоей вероятностью первоначальный выбор. Антересное кино.
    
    Если всё так, то надо экстраполировать это на трейдинг, какая может быть аналогичная ситуация?
    0
    - Roland
      30 августа 2016, 07:34
      TovaL, я через час выложу скрипты для компьютерного моделирования)
      0
      - TovaL
        30 августа 2016, 07:40
        Roland, всё таки мне нравятся два ответа. С конца считать — нет никакой разницы. С переду — вроде есть, а есть ли на самом деле или это только так кажется… Тут надо подключить спецов. ))
        
        У вас там слово «парадокс» зачем-то написано, спецы не знают, видимо ))
        0
        Roland
        30 августа 2016, 07:43
        TovaL, а парадокс не зря написано, подсказка название парадокса есть в тексте задачи…
        0
        TovaL
        30 августа 2016, 07:44
        Roland, специально гуглить не стал, не спортивно ))
        +1
      - Свой Мужик
        30 августа 2016, 21:08
        Roland, хороший скрипт но в нём гдето ошибка )
        Введите 2 и вы получите
        от 100% в обоих исходах
        до 0 / 50%
        
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 0%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 50%
        
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 100%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 0%
        
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 100%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 100%
        Ну поэкспериментируйте дальше )
        0
        Roland
        31 августа 2016, 06:42
        Свой Мужик, это число итераций( повторов игры), понятное дело, что чем больше итераций, тем ближе к теоретическому соотношению 1 к 2 будет соотношение вероятностей проиграть / выиграть при смене первоначального ответа. Даже при 100 повторах может быть серьезное отклонение, но от 1000 и выше отклонение уже минимально.
        0
        Свой Мужик
        31 августа 2016, 10:22
        Roland, я просто говорю что в скрипте где-то ошибка )
        0
        Roland
        31 августа 2016, 11:06
        Свой Мужик, это не ошибка, выбор делается случайно, поэтому в скрипте из двух раз можно выбрать оба раза изначально авто, тогда вероятность получить авто при смене первоначального выбора = 0%.
        0
        Свой Мужик
        31 августа 2016, 11:35
        Roland,
        еще раз
        
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 100%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 100%
        0
        Roland
        31 августа 2016, 11:41
        Свой Мужик, все верно, 2 попытки, один раз попали сразу на авто, второй раз попали на козу, при этом попав на козу - изменили решение, попав на авто решение не изменили. в обоих случаях вероятность 100% получилась. Скрипт моделирует полный цикл, когда Вы принимаете решение менять или не менять случайным образом.
        0
        Свой Мужик
        31 августа 2016, 12:53
        Roland, ну вот а правильно было бы 50% и 50% :)
        или у вас тоже 146%
        
        Количество попыток: 2
        Не изменил решение и выиграл: 1
        Не изменил решение и проиграл: 0
        Изменил решение и выиграл: 1
        Изменил решение и проиграл: 0
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 100%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 100%
        Согласитесь что всётаки 50% и 50% правильно было бы в этом случае… следовательно гдето ошибка в скрипте…
        с другой стороны
        Количество попыток: 2
        Не изменил решение и выиграл: 0
        Не изменил решение и проиграл: 2
        Изменил решение и выиграл: 0
        Изменил решение и проиграл: 0
        Вероятность выиграть, при изменении решения: 0%
        Вероятность выиграть, без изменения решения: 0%
        0
        Roland
        31 августа 2016, 14:14
        Свой Мужик, нет)
        2 попытки
        1 раз не изменил решение и при этом выиграл
        1 раз изменил решение и при этом выиграл
        в обоих случаях вероятность 100% потому что событие единично в данном случае.
        при подсчете вероятности в скрипте учитывается реальные решения, принятые случайным образом, а не все возможные решения человека.
        поэтому и выводится 2 вероятности: при изменении решения и без изменения решения.
        0
        Roland
        31 августа 2016, 14:25
        Roland, допустим из 10 попыток случайным образом приняли решение не менять первоначальный выбор 7 раз. Для этих семи раз и будет подсчитана вероятность выиграть без изменения решения.
        Для оставшихся 3 попыток, когда первоначальное решение менялось, будет подсчитана вероятность выигрыша при изменении решения.
        В итоге будет подсчитано соотношение выигрышей при смене решения и без смены решения.
        0
        Roland
        31 августа 2016, 14:40
        Свой Мужик, никто не говорит, что обязательно должно быть в сумме 100%, но статистически при увеличении числа повторов эта сумма стремится к 100%.
        К примеру опять же 10 раз сыграли.
        7 раз не меняли ответ
        3 раза меняли отвел
        из 7 раз 3 раза выиграли
        из 3 раз 1 раз выиграли
        вероятность выиграть не меняя решение 42,85%
        вероятность выиграть меняя решение 33,3%
        Неужели это так сложно для понимания ???
        +1
  - baron_samedi
    30 августа 2016, 08:07
    Roland,
    да — надо менять выбор — это увеличивает вероятность.
    сам здесь писал об этом.
    0
- Свой Мужик
  30 августа 2016, 10:45
  автор сам то понял что написал?
  Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ — соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔.
  если до сих пор не понял то я поясню что если вы написали за одной, тогда она такая и есть 1/3 :)
  А так было 1/3, стало 1/2, но никак не 2/3 :)
  При 100 таких случаях, чувак один фиг выиграет только в 50/50, т.ч. пох менять или не менять...
  Докажите обратное?
  0
  - TovaL
    30 августа 2016, 11:03
    Свой Мужик, всё правильно написано, но понять это непросто))
    
    Всего игрок имеет 3 варианта выбора.
    
    Если он выбрал автомобиль — то поменяв выбор он получит козу.
    Если он выбрал козу (2/3 случаев) — то поменяв выбор он всегда получит автомобиль, т.к. ведущий что? Ведущий из оставшегося автомобиля и козы откроет именно козу.
    0
    - Свой Мужик
      30 августа 2016, 11:06
      TovaL, вы не ходили в казино просто :)
      Возьмите 3 карты и попросите кого нить провести такой эксперимент, вот если из 100 вы реально угадаете 66 раз — то браво идите в казино и ставьте после черного на красное и наоборот… и так до бесконечности — вы обуете казино!!!
      +1
      - TovaL
        30 августа 2016, 11:28
        Свой Мужик, вы всё ещё не поняли. Вверху скрипт не зря подвесили, он ровно это и делает с картами. Я сам сперва не понял. Запустил скрипт, увидел, стал думать, тогда только понял окончательно. Аналогия с черным и красным в казино это совсем не то, никак не пришить к описанной ситуации, как если бы ведущий выбирал наугад. Но он выбирает не наугад, он выбирает всегда козу.
        0
        П М
        30 августа 2016, 12:23
        TovaL, я как человек крайне недоверчивый и отвратительно плохо изучивший тервер в институте написал свой пример.
        могу подтвердить что вероятность в случае смены двери вырастает вдвое.
        0
        Свой Мужик
        30 августа 2016, 20:58
        TovaL, ну какая вероятность что 2 раза подряд выпадет черное, если убираем зеро?
        1/4 верно?
        А 3 раза подряд?
        1/8, — т.е. выиграть можно с вероятностью 7/8 при ставке на красное :)
        Удачи в казино…
        0
        Roland
        31 августа 2016, 07:02
        Свой Мужик, в данном случае Вы отбросили только вариант, где выпадает всегда черное; с вероятностью 7/8 можно гарантировать только то, что ставя все время на красное, Вы не проиграете все свои деньги за 3 игры подряд.
        0
        Свой Мужик
        31 августа 2016, 10:28
        Roland, так хорошо, а если мы возьмем и пропустим 2 ставки, при том что там как раз выпадет черное, но поставим в 3й раз тогда вероятность сохранится, что мы не проиграем 7/8?
        0
        Roland
        31 августа 2016, 11:38
        Свой Мужик, в рамках игры исключительно на 3 ставки вероятность 7/8 сохраняется, но главное помнить, что чем больше выборка, тем меньше отклонение от мат ожидания… при низкой выборке результаты могут быть очень неожиданными.
        0
        Свой Мужик
        30 августа 2016, 21:09
        TovaL, протестируйте скрипт при значение 2 например )
        но разрушителям я верю больше...
        
        весь прикол как и с казино — у чела 1 шанс, а не 100 тут этого никто так и не догнал…
        0
        Roland
        31 августа 2016, 06:56
        Свой Мужик, допустим у человека 1 игра, тогда получается, что при смене ответа его шанс выиграть 66,67%, а если не менять ответ, то 33,33%.
        0
        Артем Пименов
        31 августа 2016, 12:58
        Свой Мужик, кол-во шансов никак не изменяют вероятность. Другое дело, что на отдельно взятом единичном выборе никак не оценить эту вероятность. Это все-равно что подбросить монету, выпадает орел и после этого сделать вывод, что вероятность выпадения орла - 100%.
        0
        Свой Мужик
        31 августа 2016, 13:03
        Артем Пименов, ну вы мне еще 100500 раз ответьте тут )
        видео наглядно показало, что да как и это было еще вчера — 16 часов назад )
        Интересно на самом деле было бы глянуть стату по игре )
        0
Алекс Себискверадзе
30 августа 2016, 07:35
было вероятность 33%, стало 50%.однозначно стоит сохранить выбор!
0
- Антон Денисков (Fry)
  30 августа 2016, 09:21
  Алекс Себискверадзе, не так. Думайте дальше
  0
monte_carlo
30 августа 2016, 07:50
Был такой фильм — Двадцать одно. Там эту задачу упоминали. Дверь надо менять, потому что при первоначальном выборе скорее всего ошибся (вероятность не угадать = 2/3)
+2
- Свой Мужик
  30 августа 2016, 11:03
  monte_carlo, ну народ тут насмотрелся вот такого киношного бреда который к тер. веру не имеет отношения :)
  Прикол в том, что события независимые — а значит игра по сути начинается сначала...
  
  Это как в казино сколько раз вы можете подряд удваивать ставку и ставить на черное, если выпадает постоянно красное?
  
  Для простоты представьте, что ведущий так же мог поменять местами, то что за дверями и вам станет намного проще рассуждать :)
  
  +1
  - monte_carlo
    30 августа 2016, 11:36
    Свой Мужик, причём тут киношный бред? Эта задача была опубликована в 1990 году. Задолго до фильма. Парадокс Монти Холла тем и интересен, что на первый взгляд противоречит здравому смыслу, с позиций которого Вы и судите. Впрочем в топике уже всё подробно объяснили.
    0
    - Свой Мужик
      30 августа 2016, 20:39
      monte_carlo, если оно так и есть тогда вы можете обыграть любое казино :)
      0
      - Артем Пименов
        31 августа 2016, 08:16
        Свой Мужик, ответ очевидный. В какой ситуации мы проигрываем, если меняем свое решение? Только в той, когда изначально выбрали дверь с автомобилем. Какова вероятность того, что изначально мы угадаем, где автомобиль?
        Выше приводили аналогичный пример. Пускай будет 10 дверей. После нашего первоначального выбора ведущий убирает 8 дверей с козами. Если мы меняем выбор — вероятность выигрыша возрастает в несколько раз, т.к. вероятность того, что мы с первого раза угадали дверь с автомобилем — всего 1/10.
        0
      - Артем Пименов
        31 августа 2016, 08:22
        Свой Мужик, или более наглядный пример. Есть 1000 ЯМ. На дне 999-ти ям острые копья, на дне 1-ой — надувной матрац. Тебе нужно выбрать одну яму и спрыгнуть. Ведущие заранее знают, где матрац. Ты выбираешь одну яму из тысячи. Потом ведущие показывают 998 ям, где внизу копья. Ты откажешься изменить выбор и понадеешься на то, что тебе повезло и ты из 1000 ям выбрал одну единственную безопасную?
        0
Пыльный заяц
30 августа 2016, 07:57
Я уже размялся:

«Представим себе для простоты не 3 двери, а 100. Тогда вероятность выбора двери с выигрышем составит 1/100. Затем убирают 98 дверей и оставляет нашу и еще одну дверь. Первая дверь выбрана с вероятностью 1/100, т.о. на последнюю дверь приходится 1-1/100=99/100 вероятности выигрыша.»
+3
AndreyLv
30 августа 2016, 07:58
Изначально вероятность 1/3, на оставшиеся 2 двери — 2/3. Когда ведущий открыл одну из них и за ней коза, на оставшуюся приходится 2/3. А первая дверь — 1/3. Надо менять.
+7
- Roland
  30 августа 2016, 08:01
  AndreyLv, именно)
  0
  - TovaL
    30 августа 2016, 08:06
    Roland, внезапно, спасибо!
    0
    - Игрок
      30 августа 2016, 08:50
      Расчет вероятностей не верный. После открытия ведущим двери, за которой коза, вероятность меняется для обеих дверей на 1/2 (либо машина, либо коза). Так что, изменение своего первоначального выбора шансы не изменит. (Но 100% изменит выигрыш ))
      +2
      - Антон Денисков (Fry)
        30 августа 2016, 09:28
        Игрок, думайте ещё
        0
    - Антон Денисков (Fry)
      30 августа 2016, 09:26
      TovaL, а знаете почему?
      Потому что по условиям ведущий осведомлён.
      Он не случайно открывает дверь, а только проигрышную.
      То есть в этот момент он сообщает новую информацию игроку и по сути меняет игру.
      Чтобы прикрутить это к трейдингу надо думать именно в этом направлении: когда другие участники рынка сообщают мне новый бит информации? Что это меняет в игре?
      +3
      - П М
        30 августа 2016, 09:48
        Fry (Антон), наверное это доказывает что тренировка роботов на истории, мягко говоря, имеет смысл.
        без истории вероятность 0.5, а с историей целых 0.66
        0
  - TovaL
    30 августа 2016, 08:35
    Roland, нашел (для себя) где собака порылась, то есть почему после открытия ведущим за оставшейся дверью остаётся вероятность 2/3. «Ведущий знает расположение призов», то есть если машина за оставшимися дверями он откроет именно козу. Прякольна.
    0
TovaL
30 августа 2016, 08:43
Блин. Ещё проще можно было решить без тервера вообще, перебором. Там же всего три возможных варианта выбора двери игроком. Если игрок выбрал дверь с автомобилем то при изменении решения он проигрывает, а если выбрал дверь с козой, то при изменении решения выигрывает. 1 к 2 и никаких вероятностей ))

Надо мозги подкачать, чет стар я стал.
0
Good
30 августа 2016, 08:47
те Теория вероятностЕЙ.
+1
Long Term
30 августа 2016, 08:53
надо брать козу
козе весь этот баян не нужен

— А давайте купим дирижабль!
— И что мы с ним будем делать?
— А мы его надуем… и запустим!
— А зачем?
— А на@уя он нам нужен !

А зачем тебе? — универсальный ответ вопрос, довольно часто встречающийся в беседах. Казалось бы, детский вопрос, но тем не менее, многих ввергающий в ступор и вызывающий серьёзное затруднение в ответе.
Поскольку сводится к вопросу о смысле жизни, то единственно возможным правильным ответом на него является «иди на@уй».
http://lukomore.org/lurk/%D0%90_%D0%B7%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BC_%D1%82%D0%B5%D0%B1%D0%B5%3F
+1
Ilya Fedyaev
30 августа 2016, 09:19
баян.
Только дошел до «Магов рынка», дружище?
0
- Антон Денисков (Fry)
  30 августа 2016, 09:29
  George Soros, готовимся к 1 сентября ;)
  0
  - Ilya Fedyaev
    30 августа 2016, 10:16
    Fry (Антон), повторение -мать учения!
    +1
- Roland
  30 августа 2016, 09:30
  George Soros, 99% любой информации баян…
  0
  - Ilya Fedyaev
    30 августа 2016, 10:16
    Roland, интересное замечание
    0
П М
30 августа 2016, 09:37
а уже объясняли, почему если менять решение, то вероятность 66%, а не 50%?
а. вижу в комментах. спасибо.
0
SECRET
30 августа 2016, 09:46
Нужно изменить свой выбор.
+1
SenSoR
30 августа 2016, 10:10
Нужно забить на свой первый выбор и начать новую игру. Достать монетку, левая дверь — решка, правая — орёл. Подбросить монетку, что выпало, ту дверь и открывать! Вот тебе и 50%))
0
Александр Симонов
30 августа 2016, 10:49
На моей памяти, это уже 4-й раз постят на смартлабе. Это я еще не постоянный читатель этого ресурса.
Тема жевана-пережевана. Точка давно поставлена.
youtu.be/8IUGY6T0x_c
+1
Сергей Лубяга
30 августа 2016, 15:38
В трейдинге важна теория вероятности, но видимо немного в другом плане:
trader2014.blogspot.com/2016/05/blog-post.html
0
Roman Ivanov
30 августа 2016, 21:45
Эта тема уже здесь обсасывалась кажется в прошлом году. И по полочкам все было разложено.
0