Где пределы эффективности диверсификации портфеля облигаций? Разбираемся с помощью теории вероятностей.

Некоторые инвесторы считают, что лучший способ снижения риска портфеля – диверсификация, и стараются распределить средства среди максимально-возможного количества облигаций приемлемого риска. Другие же говорят, что с увеличением количества облигаций в портфеле увеличится и количество вероятных дефолтов, что нивелирует все усилия по диверсификации. Кто же из них прав? Давайте посчитаем вероятности дефолтов при помощи теории вероятности.

Исходные данные: у нас есть исторические данные об уровнях дефолта по рейтинговым категориям, по которым мы можем оценить вероятность дефолта. Возьмем таблицу №7 и рассмотрим частоту дефолтов на горизонте трех лет.

Эти данные говорят нам о том, какова статистическая вероятность банкротства отдельно-взятого эмитента, но не говорят о том, сколько эмитентов обанкротится из, например 20, но мы можем это рассчитать при помощи статистических методов.

 Биномиальное распределение.

Представим, что все облигации одного кредитного рейтинга — это большой мешок, а отдельные эмитенты – шары в этом мешке. Шары у нас двух видов: белые шары — это «хорошие» эмитенты, то есть которые не обанкротятся, и черные шары – те, которые уйдут в дефолт. Для эмитента рейтинга кредитоспособности В доля черных шаров в меше составляет 14,7%. Мы наугад достаем один шар из мешка. С какой вероятностью он окажется черным, то есть дефолтным? С вероятностью 14,7%. Достаем следующий шар, он с вероятностью 14,7% тоже окажется черным. То есть, можем купить две дефолтные облигации с вероятностью 0,147*0,147=0,021609=2,16%. Хорошая новость в том, что вероятность двух дефолтов одновременно крайне мала, то есть это должно очень сильно не повезти.  Плохая новость в том, что если мы диверсифицируем свой портфель между двумя облигациями группы В, то с вероятностью 2,16% мы потеряем все свои средства. 

Если мы диверсифицируем портфель между десятью эмитентами, какова вероятность дефолта не более двух из них? На этот вопрос нам может ответить биномиальное распределение, которое описывается формулой Бернулли: 

 Где

 P_n(k) – вероятность k успехов в n испытаниях

 n – количество испытаний (облигаций в портфеле)

 k – количество дефолтов

 p – вероятность дефолта по матрице РА

 q – вероятность отсутствия дефолта (1-p).

Вероятность того, что из десяти случайно выбранных облигаций (разумеется разных эмитентов) рейтинга B ни одной не уйдет в дефолт при заданных параметрах, составит: 

 Вероятность того, что одна облигация все-таки уйдет в дефолт составит: 

 Вероятность того, что в дефолт уйдет сразу две облигации: 

 Вероятность того, что в дефолт уйдет сразу три облигации: 

 А вероятность того, что в дефолт уйдет или ни одной, или одна или две облигации равна: 

 Как мы можем интерпретировать это событие:

1. Для портфеля, состоящего из десяти облигаций рейтинга В вероятность того, что за три года случится не более трех дефолтов равна 95,32%.
2. Вероятность того, что дефолтов будет больше трех равна соответственно 100%-95,32%=4,68%.

 И, наконец, мои выводы (которые не являются ИИР):

Как мы помним из теории рынков, премия за риск должна быть больше, чем генерируемые риски. А значит если мы устанавливаем уровень риска для портфеля 95,32%, то премия за риск должна быть >3/10=33.3%. Учитывая безрисковую ставку (точку на КБД, которая сейчас для трех лет равна 14,77%), требуемая доходность от облигаций для такого портфеля равна 14,77%+33,33%=48,1%. Если облигации с рейтингом В не обеспечивают такую доходность, то диверсификация между десятью эмитентами недостаточна. Нужно увеличивать количество. А до какой степени – напишу в следующем посте и приложу удобный график. Поставьте лайк, если хотите продолжения.