Как использовать математику в трейдинге, если вы вообще не математик

На простом языке разберем, как незамысловатые элементы статистики и математики могут сильно помочь на финансовых рынках.

Где встречается нормальное распределение (и почему оно плохо подходит для финансовых рынков), что за шапка жандарма такая, откуда берутся 1, 2 или 3 сигмы, как определить математическое ожидание стратегии — после прочтения статьи вам будет все понятно.

Полезные материалы, которые хорошо бы изучить перед продолжением:

1. Тестирование торговых стратегий на исторических данных (бэктест) — почему это так важно?
2. Эпоха больших данных и как к ней адаптироваться нам — частным трейдерам?
3. Кто такой Джим Саймонс и как он заработал $ 25 млрд с помощью количественного трейдинга.

Что такое нормальное распределение и где оно встречается

Многое, что нас окружает, имеет нормальное распределение. Средняя, нормальная скорость, с которой передвигаются машины в городе, средние зарплаты, средняя продолжительность фильма и т.д. Среднее и нормальное движение цен финансовых инструментов — не исключение (о них — чуть позже).

Скорее всего, вы видели колоколообразную кривую нормального распределения. Разберем ее на примере среднего роста человека.

Нормальное распределение среднего роста взрослого человека.

Допустим, у нас есть данные о всех взрослых людях планеты и их росте за последние 1000 лет. Нам не составит труда узнать средний рост такого человека — он равняется 165 см. Самый низкий рост человека — 54,6 см, а самый высокий — 272 см. Выше на графике ось X показывает как раз значения роста взрослого человека, ось Y — вероятность встречи человека с определенным ростом. И если перевести график на простой язык, будет звучать примерно так:

С большей вероятностью мы будем встречать людей с ростом от 150 до 180 см. А вот взрослых людей с ростом ниже 100 см и выше 200 см мы будем встречать крайне редко.

—

Кстати да, иногда математики нормальное распределение называют “шлемом жандарма”. И вот почему:

Жандарм и его «нормальный» шлем :)

Ок, теперь разберем, что такое стандартное отклонение.

Что такое стандартное отклонение и откуда оно берется

В статистике дается следующее определение:

Стандартное отклонение (отображается как греческая буква σ — сигма) — мера, которая показывает разброс величин от среднего значения.

—

Формула стандартного отклонения выглядит так:

Корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки, деленной на количество элементов в выборке минус 1. Если что, это все автоматически можно вычислить в Excel по формуле “СТАНДОТКЛОН”.

Правило 3-х сигм — 3-х стандартных отклонений

Получив значение стандартного отклонения, мы можем узнать, где и с какой вероятностью окажутся наши исследуемые данные, используя правило 3-х сигм. Для этого обратимся к рисунку ниже.

1, 2 и 3 сигмы (σ) — те самые отклонения от среднего.

Если в нуле у нас то самое среднее значение (которое также называется математическим ожиданием и обозначается буквой мю — μ. О мат. ожидании скоро поговорим чуть подробней), то 1, 2 и 3 сигмы — отклонения от среднего значения. На одно, два и три значения соответственно.

Правило 3-х сигм говорит вот о чем:

• с вероятностью 99,7% наши исследуемые данные окажутся именно в этой выборке — от -3 до +3 стандартных отклонений. ((34,1% + 13,6 + 2,1%) * 2 = 99,7%)
• c вероятностью 68,2% наши данные окажутся в пределах от -1 до +1 стандартных отклонений. (34,1% + 34,1% = 68,2%)
• вероятность того, что наши данные выйдут из 3 стандартных отклонений — крайне мала, а именно — около 0,3%

Стандартное отклонение еще называют среднеквадратичным отклонением, потому что является квадратным корнем дисперсии — меры, которая показывает разброс значений от среднего (от того самого нуля, или μ). Нет необходимости погружаться в формулы, так как дисперсия тоже автоматически считается в том же Excel (по формуле “ДИСП”). Но если все же хотите разобраться с дисперсией подробней, вот ссылка на статью Википедии.

Ок, с матчастью разобрались, теперь к примерам из финансовых рынков.

Нормальное распределение и стандартное отклонение на финансовых рынках

Теперь мы знаем, что нормальное распределение должно встречаться и в разных сферах финансовых рынков — от доходностей торговых стратегий до движения котировок внутри дня. Давайте исследуем эту гипотезу экспериментально.

Распределение в доходностях торговых стратегий

В статье "Ценность стоп-лосса, выявленная из 2 365 алгоритмов" мы уже приводили результативность стратегий и их среднюю доходность. Вот какая выборка данных была:

• количество бэктестов: 109 912
• количество сделок: 44 214 423
• среднее историческое окно: 5.25 лет
• среднее количество сделок в каждом бэктесте: 402
• бэктестов с доходностью выше нуля: 25 706, или 23%
• бэктестов, подходящих для лайв-трейдинга (коэффициент восстановления > 0.5 и количество сделок > 30): всего 2 365 или 2.15%

Угадайте, что получили? Да, шлем жандарма.

Нормальное (почти) распределение доходностей среди 2 365 алгоритмов.

По оси X — соотношение прибыльных сделок в исследуемых стратегиях. В нашем случае —  от 20% до 75%. По оси Y — количество алгоритмов, которые попали в определенную доходность (всего их во всех гистограммах — 2 365 штук). Чем выше гистограмма, тем больше алгоритмов туда попало, — значит, выше вероятность такого события. Опять же, давайте переведем все на человеческий язык, как на примере со средним ростом человека. Вот как сформулируем:

Вероятней всего, в среднем у стратегий будет от 35% до 45% прибыльных сделок. Шанс того, что среднее количество сделок будет 55% и выше — крайне мал.

—

И важное отступление: распределение не всегда бывает нормальным. Слово “нормальное” в нашем термине подразумевает зеркальные значения что слева от среднего, что справа.

Вот какие типы распределений бывают:

Виды кривых распределений.

Есть теорема (центральная предельная теорема — ЦПТ), которая приводит ненормальное распределение к нормальному. Это все, что нам нужно знать в рамках этой статьи.

С этим разобрались. Это была средняя доходность. А что, если посмотреть на среднюю просадку?

Распределение в просадках торговых стратегий

И в средних просадках должно все повторяться. Давайте проверим это с помощью метода Монте-Карло. Подробнее о методе вы можете прочесть в статье "Как определить вероятностный результат торговой стратегии, используя метод Монте-Карло" или в видео ниже:

Сейчас же просто посмотрим на распределения.

Ок, допустим, у нас есть некая стратегия, которая в среднем дает 50% прибыльных сделок, а соотношение стоп-лосса к тейк-профиту составляет 1 к 1. Вот как будет выглядеть среднее распределение по просадке:

Распределение по просадке.

MDD — Maximum Drowdown — максимальная просадка. И здесь видим уже знакомую нам кривую распределения. Как показывает эта кривая, средняя просадка, вероятнее всего, будет в районе 3,8%.

Важно заметить, что у нас есть смещение вправо — то есть “толстый хвост” (о них — далее). Такие распределения называют positive skewness — положительный сдвиг или положительное смещение. В случае с примером выше это говорит о том, что могут быть редкие сценарии и форс-мажоры, которые сильно увеличат максимальную просадку.

Ок, еще один пример для закрепления.

Нормальное распределение, где средняя просадка уже 26,6%.

Здесь же распределение нормальное, без сдвигов влево или вправо.

Шпаргалка по математическим принципам в трейдинге — в нашем Telegram 📊

—

«Толстые хвосты» распределения

Об этом любит писать в своих книгах и публикациях Нассим Талеб. Что за “толстые хвосты” такие? Сейчас расшифруем.

По правилам 3-х отклонений, (тех самых 3-х сигм) все, что выходит за их рамки — крайне редкие события, которые можно вообще и не встретить в жизни (мы уже знаем, что шанс встретиться с таким событием — примерно 0,3%). Но парадокс в том, что редкие события на финансовых рынках, они же “черные лебеди”, встречаются значительно чаще, чем об этом говорит статистика.

Те самые «хвосты» распределения.

“Хвосты” — те самые края распределения. И если у синего распределения они тонкие (то есть вероятность события действительно низка), то у красного распределения они шире.

Мы помним, что по оси Y у нас вероятность встречи события, а по оси X — его значение. Так и получается, что чем “толще” хвосты, тем выше вероятность реализоваться крайне неожиданному и экстремальному событию.

Финансовые пузыри, падения котировок и другие форс-мажоры — все это происходит намного чаще, чем должно было бы быть в теории. И все это нельзя отнести к нормальному распределению. 

—

И об этом — ниже.

«Толстохвостные» события за последние 10 лет

Исходя из нормального распределения, выходы за пределы 3-х сигм были бы с теми вероятностями, что ниже в таблице.

Вероятности отклонений от нормального.

Теперь же посмотрим, какие события были за последние 10 лет, которые вышли за рамки нормального.

1. Пандемия COVID-19 (март 2020 года). Практические все финансовые инструменты достигли критической волатильности, которая перевалила за 5 сигм.
2. Yenmageddon (август 2024 года). Резкое укрепление японской иены. Индекс Nikkei 225 упал на 12% за один день, что стало вторым по величине падением в его истории, а S&P 500 потерял 8% за два дня.
3. Обвал акций Nvidia (январь 2025 года). Цена компании снизилась на 17% из-за новостей о более конкурентоспособном китайском AI DeepSeek. Все это привело к снижению капитализации на примерно $600 млрд. Событие это прозвали “семисигма” — то есть выход за пределы семи отклонений.
4. Отвязка швейцарского франка (январь 2015). Швейцарский Национальный Банк (SNB) внезапно отменил привязку курса франка к евро на уровне 1.20, которая действовала с 2011 года. Пара EUR/CHF обвалилась за минуты с 1.20 до ~0.85 (падение более чем на 30%). USD/CHF обвалился примерно на 25%. Такое падение тоже вышло за 6-7 сигм.

То есть, если опираться на законы нормального распределения, многие из этих событий должны были бы происходить 1 раз в миллионы или даже миллиарды лет. На практике же они происходят несколько раз в десятилетие.

Индикаторы с использованием стандартного отклонения

Хоть и нормальное распределение — далеко не самая точная модель описания цены (как мы выяснили выше), но для частного трейдера с нее можно начинать, а дальше уже переходить к более сложным моделям, которые учитывают “толстые хвосты”.

Вот несколько индикаторов, в основе которых лежит логика нормального распределения и стандартного отклонения.

Классический индикатор стандартного отклонения — Standard Deviation

Задача индикатора Standard Deviation — показывать всплески волатильности от средних значений. По классической настройке индикатор включается с периодом 20, то есть берет 20 последних свечей и вычисляет от них то самое среднее значение.

График валютной пары NZD/JPY H1 и индикатор стандартного отклонения с периодом 20.

Рост индикатора — рост ценовой активности, снижение индикатора — снижение активности.

Так как этот индикатор показывает лишь всплески волатильности, в отдельности он практически не используется. Волатильность достаточно легко определить на глаз, без каких-либо приборов.

Полосы Боллинджера

Этот индикатор популярней, так как автоматически помогает с определением тренда, волатильности и стандартного отклонения. Не будем подробно описывать здесь принципы его работы, так как уже сделали это в прошлой статье: "Трендовая стратегия на индикаторах SMA и полосах Боллинджера (Bollinger Bands)". Просто покажем, как выглядят линии на графике:

Линии Боллинджера и уже знакомые вам отклонения (сигмы).

Линия посередине — то самое среднее значение. Линии выше и ниже — +2 сигмы и -2 сигмы, то есть вероятностное движение цены как в рост, так и в падение.

Вот видео о том, как мы создавали и тестировали стратегию на основе полос Боллинджера:

Индикатор линейной регрессии

Линейная регрессия в трейдинге используется для определения основной динамики цен на рынке и отклонений от нее. Строится из 3-х линий:

1. Средняя линия регрессии — она лучше всего соответствует всем данным рынка за определенный период времени. Рассчитывается с использованием метода наименьших квадратов. Цель — минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки данных до линии. Линию можно использовать как определение тренда инструмента.
2. Линии поддержки и сопротивления — они строятся на определенном расстоянии от средней линейной регрессии. Обычно располагаются на расстоянии, равном двум или более стандартным отклонениям от средней линии. Линия поддержки находится ниже средней линии и может сигнализировать о моменте для покупки, если цена достигает ее. Соответственно, линия сопротивления находится выше средней линии и может указывать на возможность для продажи.

Линейную регрессию можно использовать как в боковых движения, так и в трендовых.

Пример линейной регрессии в шумном боковом движении.

Линейная регрессия может быть хорошим помощником в сложных фазах рынка — волатильных консолидациях. На примере выше — именно такая фаза. Покупки от нижней линии отклонения (-2 сигмы) и продажи от верхней линии (+2 сигмы) могут быть неплохой контртрендовой стратегией.

Теперь посмотрим трендовые методы.

Линейная регрессия в нисходящем тренде.

В трендовых движениях регрессия аналогично помогает с точками входа и упрощает визуальный анализ.

Математическое ожидание торговых стратегий

Последнее, о чем поговорим, и расходимся.

Скорее всего, вы слышали что-то вроде “О, эта стратегия с положительным мат. ожиданием”, или “Эта стратегия не годится. Ее мат. ожидание отрицательное”. Да, положительное математическое ожидание — хорошо, отрицательное — плохо. А берется оно, как мы уже разобрались, из тех же значений нормального распределения — из среднего. Сформулировать мат. ожидание можно так:

Математическое ожидание — это наиболее ожидаемое значение, которое мы можем получить при многократном повторении испытания.

—

Снова обратимся за помощью к методу Монте-Карло и распределениям, чтобы проверить все на практике.

Отрицательное математическое ожидание

Распределения с помощью Монте-Карло.

Выше мы провели 10 000 случайных симуляций стратегии (на самом деле портфеля стратегий, но сейчас это не важно) и получили данные по распределениям. Нам интересна правая нижняя диаграмма — “Распределение ФинРез” — финансовый результат.

Еще раз пройдемся по определению, но уже для торговой стратегии.

Математическое ожидание торговой стратегии, это среднее значение ее доходности при многократном повторении испытания.

—

Если среднее значение отрицательное (оно же мат. ожидание), как на примере выше (-11,5%), значит эта стратегия не заслуживает право на существование. Любые прибыли в такой стратегии — это лишь случайность и простое везение.

Теперь посмотрим на потенциально прибыльную стратегию.

Положительное математическое ожидание

Распределения с помощью Монте-Карло.

Здесь финансовый результат уже положительный. Среднее значение доходности — +29,1%, что говорит нам о положительном математическом ожидании. Стратегия заслуживает право на существование.

Заключение

Давайте еще раз тезисно по всему пробежимся:

• Под нормальное распределение попадает практически все, что нас окружает в жизни.
• Вычислить вероятность максимальной просадки или среднюю доходность стратегии не составит труда, если у вас есть данные. Чтобы получать данные, вы должны уметь тестировать торговые стратегии. Наш проект практики алготрейдинга поможет вам с этим.
• Многие трейдеры даже не подозревают, что используют стратегии с отрицательным мат. ожиданием. Получать системную прибыль с такими стратегиями невозможно статистически. Это все-равно что подкидывать монетку, ожидая, что “решка” будет выпадать чаще “орла”. Любые прибыли у таких стратегий будут носить случайный и кратковременный характер, а трейдер будет лишь одурачиваться случайностью.

В этой статье мы постарались показать, что для простейших вычислений вам не нужно быть математиком — все уже создано, можно брать и пользоваться. Самое важное, это умение тестировать стратегии и правильно работать с их данными. С таким подходом вы будете на голову выше других частных (как минимум) трейдеров.

Принципы распределения вы можете применять к любым показателям, которые вас заинтересуют. Это могут быть и средние движения криптовалют, и средняя ожидаемая доходность инвестиционного портфеля, и все, что вы сами захотите исследовать. Ограничения всегда лишь в вашей голове.

Работа с данными, тестирования, рациональное мышление и опора на статистику — вот что ценится среди профессионалов и отделяет их от любителей.

—

И да, не забывайте, что финансовые рынки иногда проявляют “толстые хвосты” ;)

Успехов!

Материалы

1. 4 урока для трейдинга из 4-х книг Нассима Талеба.
2. Трендовая стратегия на индикаторах SMA и полосах Боллинджера (Bollinger Bands).
3. Тренд — лучшее, что вы можете использовать в своей торговле. Исследования тренд-аномалий за 136 лет.
4. Курс "Системный трейдинг".