15% годовых – это много или мало?

Давно чесались руки написать про сложный процент, но не мог найти подходящий пример, который бы позволил раскрыть красоту этого простого инструмента. И вот свершилось!
Ко всему прочему вижу отчаяние многих мелких инвесторов, не чувствующих прибыли от своих инвестиций и потому безрассудно рискующих на рынке. А всего-то нужно посмотреть на инвестиции в долгосрочной перспективе.
И да, далее много буков, знаки умножения и возведения в степень. Придется вспомнить математику 7го класса.
Сложный процент
Предположим, что мы положили на счет сумму, равную 1000 руб., под 8% годовых. Сколько средств будет у нас через 3 года в начале 4го периода?
Для наглядности нарисуем временной горизонт инвестирования:

Обозначим годовой процент буквой R от английского слова(rate). Инвестиция – это как рождение ребенка. Первый день рождения нашей инвестиции
S₀ мы отметим только через год и подарим на праздник процентную прибыль S₀× R. Поэтому отсчет времени начинаем с Time Zero, т.е. с 0. Распишем в таблице ежегодные расчеты процента.

В начале 4-го периода у нас на счету будет сумма, приблизительно равная 1260 рублям, которую можно рассчитать по формуле:



Формула расчета стоимости активов (например, денег, акций, недвижимости) с учетом процента за  n лет не сильно отличается от формулы расчета стоимости активов с учетом процента за  3 года:

Во всем мире будущую стоимость актива (S_n), принято обозначать буквами FV (Future Value), а текущую стоимость актива (S₀) обозначают буквами PV (Present Value). Теперь предыдущая формула приобретает следующий вид:

Зная процент и будущую стоимость актива через n лет, мы легко можем рассчитать его текущую стоимость:

Эта формула может пригодиться, если потребуется рассчитать, какое количество денег необходимо инвестировать сейчас под заданный процент, чтобы получить определенную сумму в будущем.
В 1626 году ирокезы продали голландским колонистам остров Манхэттен за 60 гульденов. В то время 60 голландских гульденов можно было обменять на 18 Троицких унций серебра. Позднее, когда появились баксы, одну унцию можно было продать за 4 доллара. Таким образом, остров Манхэттэн был продан за 72 доллара США. Давайте представим, что индейцы положили эти деньги в банк под 6% годовых в начале 1627 года. Какая сумма была бы у них на счету в начале 2013 года? 

Стоит отметить, что новый год празднуется в момент начала этого года, а не в момент конца. Другими словами, то, что у нас на временной шкале отмечено цифрой 2012 – это праздник Нового Года 2013, года Змеи по китайскому календарю.
Проведем небольшие расчеты:

Наши индейцы имели бы новогодний подарок в виде депозита размером в422 миллиарда долларов США! Для сравнения, Московский Кремль, по оценкам аналитиков в сфере недвижимости, стоит «всего» $50 млд. Разомнитесь и посчитайте потенциальный депозит индейцев при 7% годовых.
Но давайте двигаться дальше. Что произойдет, если мы каждый год будем пополнять наш инвестиционный счет и через 3 года заглянем в него?
Все очень просто. Каждая новая инвестиция будет иметь свой собственный временной горизонт. Наша первоначальная инвестиция S₀ пройдет путь в три года и получит свои проценты за этот период. Следующая инвестиция S₁ пройдет путь в два года. Третья инвестиция S₂ пройдет путь в один год. А четвертая инвестиция S₃ ляжет на счет, но мы не успеем получить по ней процентный доход.


Сведем все в таблицу:

Сложим будущую стоимость всех инвестиций и получим будущую суммарную стоимость активов через 3 года или, другими словами, все деньги, которые накопятся у нас на счету.
 
Мы рассчитали FV_sum за 4 периода.
Упростим ситуацию. Предположим, что размер инвестиций всегда одинаков. Обозначим равные инвестиции переменной PMT (англ., payment).

Тогда будущая сумма накоплений FV_sum за n периодов с учетом процента будет равна:

Перед нами геометрическая прогрессия. Надеюсь, пока все более-менее понятно. Добавим немного магии. Чтобы не таскать за собой выражение (1+R) представим его в виде символа q и умножим все на (q-1)/(q-1) Затем оптимизируем формулу, сократим то, что можно сократить, и обратно заменим q на (1+R):

Итак, будущая стоимость активов через n лет с ежегодными равными инвестициями будет равна:

Мы получили формулу сложного процента с учетом ежегодных инвестиций и можем ее легко использовать в жизни.
Текущая стоимость активов PV, с учетом ежегодных платежей PMT, выводится просто:

Итак,


Для чего может использоваться эта формула? Ну, например, если у нас есть какое-то количество денег, мы можем ежегодно тратить определенную сумму, а на остаток иметь годовой процент. Данная формула позволит нам рассчитать текущее количество денег на счету (PV), которых нам хватит на n лет, если ежегодно мы будем тратить сумму PMT, с учетом годового процентаR.
Теперь мы знаем, что:

• FV– будущая стоимость активов,
• PV– текущая стоимость активов,
• PMT– ежегодный платеж (трата или инвестиция, смотря с какой стороны смотреть).

Обещанный пример
Вам 30, вы молоды, крепки и полны надежд. Вы планируете уйти на заслуженный отдых в 60 лет. Вы желаете тратить $100,000 в год в период с 60 до 80 лет. Если все будет удачно, вы проживете дольше, но смерть – одна из самых предсказуемых вещей на планете и статистика говорит, что 80 лет для обычного человека – это весьма неплохой результат. Вы понимаете, что в период с 50 до 60 лет вам будет сложно откладывать деньги, но вы будете продолжать работать, что позволит вам не съедать свой капитал. А вот с 30 до 50 лет вы можете себе позволить ежегодно откладывать какие-то деньги. Сколько и под какой процент вы можете откладывать ежегодно, чтобы в 60 лет иметь достойный бонус?
Нарисуем горизонты инвестирования:

Начнем с конца и рассмотрим период С. Предположим, что наши рыночные инвестиции приносят ежегодно 15% годовых. Сколько денег у нас должно быть на счету в 60 лет, чтобы мы могли тратить до 80-и лет ежегодно по $100,000? Представим, что нам 60 лет прямо сейчас. Следовательно, нам нужно знать, сколько сейчас денег у нас на счету или, другими словами, текущую стоимость активов (PV), которые мы хотим потратить в ближайшие 20 лет, совершая ежегодные траты, равного размера:

Рассчитаем текущую стоимость активов, которых нам должно хватить на 20 лет:

Мы выяснили, сколько денег должно быть на счету, когда нам стукнет 60. Теперь рассмотрим период B и найдем, сколько денег мы должны иметь в 50 лет, если в следующие 10 лет мы не сможем дополнительно инвестировать. Итак, нам 50 лет и нам известно, что в 60 лет у нас на счету должна образоваться сумма в $625,933. Мы смотрим на эти деньги, как на нашу будущую стоимость активов или FV (то, что в 60 лет для нас станет PV, в 50 лет будет еще только будущим, т.е. FV). Процент тот же. Период B длится 10 лет. Снова рассчитываем текущие активы, но с перспективы 50-летнего человека

Тогда применим формулу расчета PV без учета PMT:


Итак, в 50 лет у нас на счету должна быть сумма, равная $154,721.
В завершение рассмотрим период  А.  В эти годы мы планируем активно инвестировать. Но сколько? Нам 30 лет и мы знаем нашу будущую стоимость активов FV, равную $154,721. Процент по-прежнему 15%. Период инвестиций — 20 лет.
Воспользуемся формулой:  
 
 
Перевернем ее так, чтобы рассчитать наши ежегодные инвестиции PMT:

Определим начальные данные для периода А:


Вот и все. Инвестиции $1,510 в год в течение 20 лет, пока молоды, и траты $100,000 в год, когда уже мудры.
Остальные выводы вы можете сделать сами и определить для себя: 15% годовых – это много или мало. Готовы ли вы нести риски за дополнительные проценты. Сможете ли вы стать дисциплинированным инвестором или так и будете метаться в поисках Граалей.
P.S. Excel и OpenOffice имеет все формулы для расчета PV, FV и PMT. Последний пример можно рассчитать в таблицах следующим образом: