25 июля 2022, 01:32
Задачка для тех, кто хочет потренировать мозги
Для тех кто не хочет — убедительная просьба проходить мимо и не срать в топике.
К трейдингу задачка точно отношения не имеет.
Доброй ночи, коллеги!
Есть куб с ребром 1. В одну из граней этого куба (квадрат) вписана окружность. Вокруг соседней грани куба (квадрат) описана окружность.
Имеем 2 непересекающиеся окружности в пространстве. Каково минимальное расстояние между ними?
Задачку (как ни странно) подкинул один знакомый криптан.
Я сначала решил ее аналитически. Решается. Но по ходу вычислений удается наделать кучу ошибок.
Потом неожиданно придумал решение (исходя из ответа) в 1 абзац и вообще без формул.
Для тренировки мозгов и пространственного воображения — самое оно.
Главное — ночью этим не заниматься )))
С уважением
Дмитрий, не совсем. У меня фоном работает канал РБК. Там постоянно разные спикеры говорят, что НЕ ВСЕ хорошо. Далеко не все! И просвета пока не видно:(
А именно: есть сильный спрос на кучу всего...
никто не знает… ну ваще
Grisha_che, или дефолтнуть)
botlib, если американских ястребов послушать-почитать, то они клянутся «убить российский СПГ-экспорт»… Эти ребята на все пойдут… И санкции, и вторичные санкции против всех покупателей российского С...
Волшебник, откуда такая уверенность? У евросоюза тоже есть, что мы можем забрать. Ещё в конце 2023 евросоюз разрешил НЛМК слябы продавать до 2028 года.
tass.ru/ekonomika/19573099
sasa sasa, У вас такая каша в голове, просто офигеть… Цена топлива не транслируется 1к1 на цену товара вообще никак… ЖКХ растёт всегда в середине лета — ссылку на источник почему это будет в январе...
Andrew, к вечеру наконец кнопка заработала. Можете подать поручение в личном кабинете — услуги — операции с ценными бумагами — участие в корп. действиях — выкуп ценных бумаг (Buyback). Акции перест...
Спустя месяц цена вернулась на 4.500
genubat, для обшего развития — чтобы делать выводы и принимать решения.
Ставим кулачки!!!
Вы предлагаете ответ 0.5*(sqrt(2)-1)
Правильный — меньше
Ну и обоснование неплохо бы представить
С уважением
P.S. Численные решения принимаются, если они правильные
Мой ответ: 0.5*(sqrt(2) — 1)/sqrt(2).
Слишком маленькое число.
Проведем через центр куба и каждую из окружностей по сфере.
Так вот — Ваш ответ меньше разницы радиусов сфер, т.е. его никак невозможно реализовать.
С уважением
Если текстом, то (а, делённое на корень из 2 минус а, делённое на 2), где а — сторона квадрата.
Вы предлагаете 0.5*(sqrt(2)-1)
Есть пара точек с меньшим расстоянием
С уважением
Не вижу меньшего, даже если провести сферу.
Давайте подсказку).
К сожалению в задаче нет подсказки без указания на решение.
Надо либо вычислить ответ аналитически, либо указать способ построения такой пары точек (из нее сразу следует ответ).
С уважением
y = 0.5*sqrt((x-1)^2 + (sqrt(2) — x)^2).
Если x=sqrt(2) или x=1, т.е. это или угол или середина ребра.
Тогда y= 0.5*(sqrt(2)-1). Но есть две точки с меньшим расстоянием. Решаем традиционно. Берем производную, приравниваем к 0. Находим минимум y.
У меня получился минимум
y = 0.5*(sqrt(2)-1)/sqrt(2), при x=0.5*(sqrt(2)+1).
Мог, конечно, и напортачить спросонок ).
Неверно. Правильный ответ в районе 0.16
С уважением
P.S. Ну и минимум, конечно, следует искать у функции от 2-х переменных, т.к. у задачи 2 степени свободы — по одной точке на каждой из окружностей
Это лишнее. На общем ребре берем точку, и проводим две прямые к центрам граней. Каждая из этих прямых пересекает свою окружность. Это и будут точки, между которыми надо искать минимальное расстояние. Получаем функцию одной переменной.
P.S. Еще раз перепроверил расчеты, ошибок не нашел.
Вот только неверное.
Вы утверждаете, что если между 2-мя точками на 2-х окружностях расстояние минимально, то лучи из центров граней пересекутся в одной точке на линии ребра.
Из чего это следует?
С уважением
Оценка снизу для минимума, которую привел уважаемый 3Qu, просто больше, чем результат Ваших расчетов.
С уважением
Предлагаю повторить мои несложные расчеты. Всё-таки вы в этой задаче арбитр.
Минимум функции посчитан верно. Но
1. Я не понимаю Вашу параметризацию. Что есть x?
2. Утверждение, что если между 2-мя точками на 2-х окружностях расстояние минимально, то лучи из центров граней пересекутся в одной точке на линии ребра, просто неверно.
Могу предположить, что x — это удвоенное расстояние от центра грани до точки на ребре. Тогда мы имеем треугольник, у которого одна сторона — это (x/2 — 1/2), вторая сторона — это (sqrt(2)/2 — x/2), а третья — это искомое расстояние между 2-мя точками на окружности.
Проблема в том, что это не прямоугольный треугольник, так что по формуле для гипотенузы длину третьей стороны посчитать не получится.
С уважением
С уважением
Берем точку на общем ребре. Проводим прямые через центры окружностей. Между точкой на ребре и точками пересечения прямых с окружностями образуются два отрезка. Они перпендикулярны, т.к. лежат на перпендикулярных гранях. Это катеты. Искомое расстояние это гипотенуза.
Угол возвышения нашей точки обозначаем а. Вводим для удобства х = 1/cos(a).
Тогда катеты равны 0.5*(x-1) и 0.5*(sqrt(2)-x). Получаем уравнение для расстояния между точками:
y = 0.5*sqrt((x-1)^2 + (sqrt(2) — x)^2).
Далее тривиально. Ищем минимум y:
ymin = 0.5*(sqrt(2)-1)/sqrt(2)
Ну и где тут ошибка?
Вы в самом деле считаете, что прямые, лежащие на перпендикулярных гранях, перпендикулярны между собой?
С уважением
И какое отношение это имеет к решению задачи?
С уважением
… что есть косинус? Какие ещё «сферы»???
Через центр куба и вписанную окружность можно провести сферу.
Через центр куба и описанную — тоже.
Это будут 2 концентрические сферы.
С уважением
ПС:… и эта нелепая ошибка в принципе испортила мне сегодня весь день!)) Вот не сложился с самого утра после задачки — бл*, со всеми разругался!)
ПС:… перпендикулярные грани не гарантируют перпендикулярность прямых из плоскостей этих граней. Логическая аксиома!
Две равноудалённые точки на меньшей окружности, если провести радиусы пересекающимися.
Проводим две сферы — R и r. Минимальное расстояние между сферами R-r. Точку, где расстояние =R-r, надеюсь, найти несложно.)
Но, чтобы это было ответом, необходимо, чтобы можно было выбрать по одной точке на каждой окружности так, чтобы соединяющий их отрезок был перпендикулярен обоим сферам.
Вообще неочевидно, что такая пара точек найдется.
Так что Вы пока привели оценку снизу для ответа.
С уважением
Не вставая с дивана уменьшим радиус вписанной окружности в 2 раза.
В этом случае очевидно, что такая точка найдется?
В чем разница с исходной задачей?
С уважением
Еще раз, минимальное расстояние между двумя сферами R-r. Либо больше, либо равно. Точка где равно очевидна.
По одной из точек на каждой окружности в студию, плз
С уважением
Как построить — не знаю. Искать через косинус прилежащего угла, угол не могу поймать).
Цитирую.На пересечении поверхности конуса из центра куба через вписанную окружность с описанной окружностью. Точки точно есть.)
В объеме наверное сложно строить, а в проекциях элементарно.
Это на 99.9% правильное решение
Осталось объяснить товарищам, почему есть точки пересечения?
С уважением
Нужно поступать в точности наоборот.
1. Вписанная окружность касается внутренности круга, заметаемого описанной окружностью (в своей плоскости).
2. Поэтому у конуса, построенного из центра круга через описанную окружность есть точки пересечения с вписанной окружностью. Или еще проще — 2 конуса, проведенные через обе окружности, точно пересекаются (по 2-м лучам).
Следовательно, есть луч, проведенный из центра куба и пересекающий обе окружности. Тогда расстояние между этими точками на окружностях равно разнице радиусов описанных сфер.
У одной диаметр sqrt(3), у другой sqrt(2).
Поэтому правильный ответ 0.5*(sqrt(3)-sqrt(2)).
С уважением
Находим по конусу (любому) точку. Проводим из нее прямую через центр куба. Получаем точку пересечения со второй окружностью. А куда она денется.)
Ответ R-r. Ну, да, все правильно.
У Ивана Портного треугольник непрямоугольный, поэтому там частное между катетом и гипотенузой тоже не в кассу.
С уважением
Именно на это я обратил внимание уважаемого 3Qu в его заготовке решения — что наличие такого луча надо доказывать.
Он привел набросок такого доказательства.
Я привел полное доказательство (с 2-мя конусами).
С уважением
Получилось 0,159
Неверно. Правильный ответ в районе 0.16
С уважением
расстояние между гранью и описанной окружностью = 0.5×(корень(2)-1)= примерно 0.2.
Значит ответ где-то между.
Там есть 2 точки, где меньше расстояние. Смоделируйте.
Тоже такой давала).
Правильный ответ ок. 0.16
С уважением
Общая формула: =0.5×(корень(2)-1)=примерно 0.207.
Правильный ответ 0.5*(sqrt(3)-sqrt(2))
С уважением
Нам даже не нужны сферические координаты
Просто строим 2 сферы, описанные вокруг 2-х окружностей.
Ясно, что расстояние между окружностями не может быть меньше, чем расстояние между сферами (разность радиусов).
В данном конкретном случае этот минимум реализуется, что доказывается явным построением луча, выходящего из центра куба и пересекающего обе окружности.
С уважением
Значит, радиус большой окружности, а именно 1: корень из 2, минус (косинус 45 градусов равен корню из двух пополам) 1:2 равно приблизительно как раз меньше 0,2.
А так — молодцы конечно!
Если взять цилиндры, выглядит более правдоподобно