Облигации: мифы и реальность. Часть 2. Глава 1. Дюрация Маколея.

В глянцевом журнале для тиньковских домохозяек https://journal.tinkoff.ru/  часто можно встретить такие мнения о дюрации:

(https://journal.tinkoff.ru/guide/duration/ 

https://journal.tinkoff.ru/moex-bond-search/ )

“Дюрация — это эффективный срок до погашения облигации”

“С помощью дюрации инвесторы и аналитики измеряют средний срок возврата инвестиций”

“Простыми словами — это количество лет или дней, через которые инвестор вернет вложенные в облигацию деньги”

“Дюрация — это средняя окупаемость инвестиции”

При этом читателю вряд ли будет понятно, что в данном случае означают слова “эффективный” и “средний срок возврата”, а авторы таких статей в детали обычно не вдаются. Мы на примерах покажем, что эти дефиниции иногда могут сбить инвестора с толку, а в некоторых случаях бывают неверны.  Мы продолжаем считать, что наши облигации живут в мире плоских процентных ставок, но иногда в нем могут происходить скачкообразные изменения кривой бескупонной доходности.

Дюрация Маколея

В вышеприведенных определениях под дюрацией авторы понимают прежде всего дюрацию Маколея, и она действительно была введена исторически   как средневзвешенное время денежных потоков от облигации. (F.Macaulay, 1938)   Он, собственно, и рассматривал дюрацию как некую оценку  “срока жизни” облигации.

Выражение для дюрации Маколея  хорошо известно и мы не будем его приводить, а обсудим лишь некоторые конкретные примеры.

Прежде всего обратим внимание, что единица измерения дюрации — временной интервал (годы, дни и т.д)  И наилучшим образом понятию “количество лет или дней, через которые инвестор вернет вложенные в облигацию деньги” отвечает дюрация бескупонной облигации, ведь она в точности равна времени до погашения T (в чем легко убедиться, посмотрев на формулу) Конечно же, деньги вернутся с лихвой, обеспечив держателю процент от вложений, но промежуточных выплат по такой облигации нет, и придется дожидаться погашения номинальной стоимости.  

Если облигация платит купоны, то ее дюрация всегда меньше времени до погашения, а чем выше размер купона и/или ставка дисконтирования, тем меньше дюрация. Поэтому  возникает восприятие дюрации как “эффективного срока до погашения”, ведь какую-то “часть” инвестор получает заранее, и чем раньше, тем для него лучше. Проблема в том, что данная эффективность в сознании инвестора не имеет четких критериев, она никак и никем количественно не определена. Это скорее качественный показатель, позволяющий судить о том, что одни облигации могут быть лучше других в смысле величины и частоты поступления денежных потоков. 

Быть может,  формулировка “средний срок окупаемости” подойдет нам больше? В определении срока окупаемости, принятом в корпоративных финансах, временная стоимость денег не учитывается. В этом случае можно показать, что если купонная доходность достаточно велика и близка к  ставке дисконтирования, то сумма купонов, полученная за время равное дюрации будет сопоставима с ценой облигации. 

Но еще более интересным примером является так называемая “вечная облигация” (или консоль), которая платит только купоны и не имеет номинальной погашаемой стоимости.  Выражение дюрации Маколея для консоли, выплачивающей ежегодный купон С, легко вывести, используя стандартные методы анализа: D=(1+r)/r, где r — требуемая доходность при годовом начислении процентов.  Цена такой облигации будет равна C/r. Теперь, если перейти к непрерывному начислению процентов (что не так грубо исказит картину, ведь консоли могут выплачивать купоны и ежемесячно), то D=1/y, где у — доходность при непрерывном начислении. И мы получим красивое соотношение: P=D·C, из которого ясно видно, что “вечная облигация” окупается ровно за D лет.

Если рассмотреть другой крайний пример  для обычной купонной облигации,  — предельно низкие (нулевые) ставки дисконтирования, то в этом случае ее цена равна сумме всех денежных потоков, а значит срок окупаемости должен быть равен времени до погашения. Можно показать, что в этом примере дюрация как правило не превосходит половину срока окупаемости. Не зря в некоторых источниках дюрацию иногда называют «временем полураспада» облигации. Так что, если понимать среднее именно как половину срока окупаемости, то это определение может нам и подойти.

Однако рассмотренный выше подход нас не вполне устраивает, ведь временная стоимость денег для нас имеет значение и полученные купоны мы обязательно реинвестируем.  Для того, чтобы получить правильное соотношение для срока окупаемости, с ценой облигации нужно сравнивать не сумму купонов D·C, полученных за время, равное дюрации, а будущую стоимость аннуитета FV[C], рассчитанную  для этих купонов. Поэтому, введем так называемый приведенный срок окупаемости PaybackRatio = FV[C]/P, который легко интерпретировать: если он равен или больше единицы, нам удалось отбить вложения в течение  t=D, если нет, то увы.

В качестве примера на рис 1. приведены графики приведенных сроков окупаемости 10-летней облигации как функции ставки дисконтирования для  различных значений купонной доходности (от 2.5% до 15%). 

Видно, что  зависимость довольно сложная и дюрация Маколея в нашем случае может выступать в качестве меры «окупаемости» только при достаточно высоких ставках дисконтирования, а в текущих рыночных условиях низких ставок эта мечта вряд ли достижима.

Подводя итог, можно сказать, что дюрация Маколея как «эффективный срок погашения» или «срок окупаемости» безупречно интерпретируется в двух случаях: 1) бескупонная облигация, 2) консоль. Для распространения этого подхода на привычную нам  купонную облигацию желательны как высокие ставки дисконтирования, так и большой купонный доход. 

И напоследок стоит уточнить, что понятие срока окупаемости, которое обычно применяется к инвестиционным проектам, теряет смысл в условиях торговли высоколиквидными облигациями на ОРЦБ, так как любую купленную облигацию можно продать по усмотрению инвестора  в любой удобный момент и тем самым «окупить вложения».

Теперь немного усложним задачу и попросим тиньковскую домохозяйку с помощью известной нам формулы найти дюрацию Маколея, например, для флоатера ОФЗ-24020. И тут ее, скорее всего, постигнет неудача, ведь будущие купоны флоатера неизвестны и зависят от средних  значений ставок Ruonia за купонный период, как это определено в спецификации бумаги. Их нельзя подставить в формулу для дюрации. Что делать, как быть? 

Нам следует полностью изменить подход к дюрации и отказаться рассматривать ее исключительно с точки зрения средневзвешенного времени получения денежных потоков по облигации. Об этом поговорим в следующей главе.