Популярные парадоксы теории вероятностей (Монти Холла и задача о 2 конвертах)

Недавно на смартлабике внось всплыла тема парадокса Монти-Холла. В свое время я узнал о ней благодаря ЖЖ Феникса, и мне она так понравилась, что я решил ее в общем виде. Вот один частный случай, который, возможно, взворвет мозг гуманитариям:

Есть 7 дверей, за одним из которых находится автомобиль, а за 6 остальными — козы. В поисках автомобиля игрок может выбрать любые две двери, но пока не открывать их.
После выбора игрока ведущий открывает 3 из оставшихся 5 дверей, где находятся козы.
Далее игроку предлагается возможность поменять решение: вместо _двух_ дверей, которые он выбрал изначально, он может поискать автомобиль за _одной_ из других 5 дверей, из которых 3 открыты ведущим (т.е., по сути, за 1 из двух закрытых)

как выгоднее поступить игроку?

И к задаче о двух конвертах. Существует распространенное заблуждение, что обоим игрокам выгодно поменять конверты. Это неверно. Парадокс здесь на самом деле кроется в некорректном условии задачи. А именно: если считать по умолчанию распределение денег в конвертах равномерным от нуля до бесконечности, то для такого распределения не выполняется условие нормировки вероятности (мощность множества всех исходов не равна 1, а равна бесконечности). Если же взять, например, конечное равномерное распределение, или бесконечное экспоненциально убывающее распределение, то можно формально вычислить величину суммы в конверте, выше которой обмен становится невыгодным (ниже нее, соотвественно, выгодным).

оффтоп теория вероятности парадокс Монти Холла

Citizen

Москва

106

с 9 октября 2011

17 Комментариев

Дмитрий Интрадей
23 июня 2012, 02:01
Кстати очень даже вяжется с этим эффектом фраза «ты сначала подумай, а потом говори глупость» (фраза кстати употребляется ПОСЛЕ того как была сказана только что глупость). То есть первое что приходит в голову часто бывает глупостью :) то бишь первый выбор может оказаться глупость хотя бы из этих соображений ;)
+1
- Olleg
  23 июня 2012, 02:17
  Дмитрий Интрадей, частенько мне первая мысль в голову приходит — закрывай сделку, быстрее закрывай пока цена хорошая, но я отмахиваюсь от этой мысли, и сразу же, как правило, цена уходит далеко против меня )) а я уже начинаю беседу с лосем ))
  +1
  - moscow
    23 июня 2012, 16:41
    Olegg, В этих случаях, как я заметил, дело не в статистике, а в психологии. Ты просто не фиксируешь моменты обратного поведения цены.
    Т.е., эмоции от негатива гораздо сильнее эмоций от позитива, и ты помнишь негативные моменты, но забываешь про удачные.
    0
    - Invest-Fund
      23 июня 2012, 17:02
      moscow, именно память что отфиксил позу дешевле чем мог чуть позже запоминается больше лося.
      0
gillwing
23 июня 2012, 02:45
откуда взялись 2 игрока???
при большем количестве экспериментов замена дверей ведет к выигрышу. чем больше выборка тем верней путь.
0
- Citizen
  23 июня 2012, 13:22
  gillwing, поясните вопрос
  0
  - gillwing
    23 июня 2012, 21:30
    Citizen,
    И к задаче о двух конвертах. Существует распространенное заблуждение, что обоим игрокам выгодно поменять конверты.
    откуда взялись 2 игрока??? разве их должно быть два
    0
    - Citizen
      23 июня 2012, 21:55
      gillwing, есть вариант задачи, когда игроков двое, но сути это не меняет
      0
Johnny_22
24 июня 2012, 14:17
отличные задачки, всем рекомендую разобраться :)
0
- Citizen
  24 июня 2012, 16:27
  Johnny_22, так вы готовы представить решение приведенного мной варианта парадокса Монти-Холла?)
  0
  - Johnny_22
    24 июня 2012, 21:12
    Citizen, ответ ниже )
    0
Johnny_22
24 июня 2012, 21:12
ну как мне видится, изначально игрок имеет вероятность в 2/7, выбирая две двери и не имея никакой информации.
ПОсле того как ведущий открыл 2 двери с козами, если игрок поменяет 2 выбранных двери на одну, будем иметь следующую ситуацию:
вероятность что за каждой из изначалььно выбранных дверей машина — по прежнему 1/7, в сумме — 2/7= 24/84
а вот в каждой из двух невыбранных вероятность будет (1-2/7)/2=5/12 = 35/84
Таким образом, менять 2 изначально выбранных на одну ранее не выбранную имеет смысл, т.к. это увеличит вероятность выиграть
ну это на мой дилетантский взгляд :) при условии что ведущий как нить не жульничает
0
- Johnny_22
  24 июня 2012, 21:14
  Johnny_22, кажется напутал в расчетах:
  (1-2/7)/2=5/14 это в каждой из невыбранных
  а в двух изначально выбранных 2/7 или 4/14
  выбор тот же что и в предыдущем коменте
  0
  - Citizen
    25 июня 2012, 01:26
    Johnny_22, в общем, так и есть) хотя статистическое преимущество оказывается очень небольшим, не таким, как в классическом варианте этого парадокса, где 3 двери; значит, эффект от изменения решения будет заметен только при большом числе испытаний.
    0
Johnny_22
24 июня 2012, 21:40
и к вопросу о двух конвертах — вы пишете «если считать по умолчанию распределение денег в конвертах равномерным от нуля до бесконечности».
Так вот — не бывает равномерного распределения на бесконечном интервале )
0
- Citizen
  25 июня 2012, 01:22
  Johnny_22, об этом я и пишу, что такое распределение не удовлетворяет аксиоматике теории вероятностей
  0
Johnny_22
24 июня 2012, 21:46
прикол в том что даже не надо определять величину. МОжно случайным образом выбрать число, если ниже — то менять, если выше не менять. Такая стратегия даст больше, чем случайный выбор.
0