Новичкам. Опционы и Гауссово (нормальное) распределение.

Всем привет.

Продолжаем грызть тему опционов по книгам Саймона и Натенберга, сегодня добрались до темы волатильность.

Волатильность — это то, что отличает торговлю фьючерсами от опционов. Кто не знает как работает волатильность, по каким законам она живет, не сможет работать с опционами. Там, где волатильность, там есть и теория вероятности, а там, где теория вероятности — сидит определенный математический аппарат.

Именно в этой точке гуманитарий опускает руки, потому что не может разобраться как работать с моделью Блэка-Шоулза, не знает элементарных понятий из теории вероятности, не знает как работает Гауссово распределение.

Будем двигаться понемногу, сегодня разберемся именно с Гауссовым распределением, я покажу на пальцах что это такое и уже потом будем постепенно углубляться в модель Блэка-Шоулза (да-да, уважаемые новички, без понимания как работает эта модель вы будете терять деньги на опционном рынке).

Что же такое Гауссово распределение, оно же распределение Гаусса-Лапласа? Это такое распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:



Важно знать следующие свойства функции плотности распределения Гаусса:



С вероятностью 68,2% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 1 сигма.
С вероятностью 95,4% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 2 сигма.
С вероятностью 99,7% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 3 сигма.

Что это такое и как с этим работать трейдеру?

Есть удивительный индикатор Боллинджера, который показывает среднюю, верхнюю и нижнюю границу диапазона изменения цены актива, по умолчанию там настроен параметр 2сигма. Таким образом, если бы рынок подчинялся распределению Гаусса, то с вероятностью 95,4% цена не должна выходить за границы диапазона. Но почему же иногда она выходит? Потому что нормальное распределение по Гауссу это всего лишь математическая модель, рынки же в основе своей живут не по распределению Гаусса, на рынках есть тренд и память. Именно поэтому о каком-то случайном блуждании цены говорить не приходится, но в то же время рынки очень часто живут также и по Гауссу, мы это видим во время боковиков, когда цена хаотично движется туда-сюда, но не выходит за границы диапазона. Это как раз частный случай хаотичного движения (пропал тренд).

Более простого изложения на практике «куполообразного» распределение вероятностей я нигде не видел ранее, именно этим меня и цепанула книга Натенберга. Респект автору, умеет он всё же нетривиальные вещи объяснить простым языком.

Случайное блуждание.

Возьмем для примера игру пинбол. Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с вероятностью 50%. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.


Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.

Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, которое называется Гауссовым — большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называется еще нормальным или колоколообразным:


Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, изображенной на рисунке.

Низковолатильное распределение.

Теперь давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким образом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на рисунке (низковолатильное распределение):


Поскольку боковые движения шариков ограничены, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты будут более узкими, чем у кривой на предыдущем рисунке. Несмотря на изменения формы, это по-прежнему кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками (для тех, кто владеет математическим аппаратом — параметр эксцесс отвечает за высоту пика).

Высоковолатильное распределение.

Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следующий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова, если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное на рисунке:


У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение вероятностей, пик намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на предыдущих рисунках.

Для чего нам всё это нужно было?

Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изменения цены базового актива, а движение вниз — течение времени. Если предположить, что цена Ri каждый день повышается или понижается на 2500 пунктов (шаг 1 страйка), то распределение значений цены через 15 дней будет представлено на рисунке с «колоколообразной» плотностью распределения вероятностей.

Если предположить, что цена Ri повышается на 2500 пунктов каждые 2 дня, то распределение будет похоже на рисунок «низковолатильного распределения».

А если предположить, что цена Ri за день растет или падает на 5000 пунктов (2 страйка), то распределение будет напоминать рисунок «высоковолатильного распределения».

Если сегодня Ri стоит 107 500, а срок действия опциона истекает через 15 дней, то как определить стоимость 112 500 колла?

Об этом в следующих сериях...

Если такие вот топики вам заходят — ставьте лайки, жмите колокольчик, пишите каменты.

Да сопутствует вам всем удача в опционном мире!

С уважением, Карлсон.

---
p.s. кому интересно, свои мысли по рынку также кидаю в канал "Фондовый рынок глазами Карлсона" телеги t.me/KarLsoH