Оптимальный интервал для рехеджа портфеля

Небольшое отступление. После предыдущих постов, я получал сообщения в личку, о том, что не все было понятно. Я постараюсь писать более понятным для новичков языком, и опытных коллег прошу простить чрезмерную избыточность материала в некоторых местах. Я буду рад любым замечаниям и уточнениям. В конечном счете, цель данного поста, закрепить и самому разобраться в тонкостях этой темы.


В данной статье мы попробуем разобраться, как влияет дискретность хеджирования и стоимость транзакций на дельта-хеджирование (ДХ). О том, что такое ДХ и механизм его работы, можно прочитать в моих предыдущих постах или любых других постах, но лучше всего в книгах.

ДХ по Блэку-Шоулзу (БШ), предполагает непрерывное хеджирование. Это означает, что ребалансировка портфеля должна происходить на бесконечно малых промежутках времени. И именно в таких условиях, ДХ по БШ обеспечивает хеджирование портфеля в полной мере, т.е. позволяет свести риски убытков к минимуму.

А что происходит на практике? В реальной жизни у нас нет возможности бесконечно часто ребалансировать портфель:

1. Как бы мы того не хотели, мы можем ребаланировать портфель только через определенные промежутки времени (дискретно).
2. Даже если мы будем ребалансировать часто — это дорого с точки зрения транзакционных издержек.

Так и появилось мнение о том, что в реальной жизни ДХ не возможен. Но это тоже не совсем правда. Давайте остановимся на этом подробнее и проверим на практике. Попробуем смоделировать ДХ на реальных данных. Для примера я взял данные, которые есть в открытом доступе на московской бирже:

• минутки для контракта SiH9 с 2019-01-01 по 2019-03-21 
  iss.moex.com/iss/engines/futures/markets/forts/boards/RFUD/securities/SiH9/candles.jsonfrom=2019-01-01&till=2019-03-21&interval=1&start=0
• опцион call iss.moex.com/iss/history/engines/futures/markets/options/securities/Si69500BC9/trades.json?from=2019-01-01
• опцион put iss.moex.com/iss/history/engines/futures/markets/options/securities/Si69500BO9/trades.json?from=2019-01-01

Продавать мы будем «стрэдл» в первый торговый день, около центрального страйка. Для красоты картины продавать будем по 10 опционов Put и Call, чтобы было что хеджировать. Хеджировать будем по IV, которую запоминаем в момент продажи. Мы её не меняем независимо от волатильности БА (многие могут поставить правильность этого подхода под вопрос, но для целей данного исследования это так).

Для начала смоделируем ДХ каждую минуту без транзакционных издержек и посмотрим на результат. Это будет наша точка отсчета, т.к. для моделирования более частого ДХ у нас не хватает данных. Ниже представлен график стоимости портфеля на каждом шаге.





В данном случае ДХ принес нам 8897 рублей прибыли. Теперь включим транзакционные издержки и посмотрим, что стало с нашей прибылью.





Прибыль составила -31037.84 рублей. Что подтверждает сказанное выше, слишком частый ДХ съедает всю прибыль. Что мы можем с этим сделать? Правильно, увеличить интервал хеджирования (хеджировать реже). Для начала попробуем выравнивать дельту каждый час.





На этот раз прибыль составила 4608.736 — уже лучше. Но каков же оптимальный интервал? Попробуем это выяснить, выполнив ДХ для разных интервалов и сохранив результат. Прогоним тот же алгоритм 1000 раз от 1 минуты до 1000 минут и посмотрим на график прибылей в зависимости от интервала:



Это уже интереснее! Оказывается используя ДХ мы можем получить прибыль, даже с транзакционными издержками, главное правильно выбрать интервал для выравнивания дельты. Максимальная прибыль, для взятого примера, получилась с интервалом ДХ в 763 минуты.

Но чем больше интервал, тем больше рисков. По-этому, надежнее выбирать интервал меньше, пусть и ценой немного упущенной прибыли. Попробуем интервал 4 часа, тогда наша прибыль с учетом транзакционных издержек составит 7658.725 рублей. Много это или мало — другой вопрос. Переводя на проценты годовых с учетом вложенных средств на ДХ и ГО, это выходит не более 5% годовых. Так что тут еще есть над чем подумать.



Важное замечание новичкам! В данном примере волатильность базового актива падала. Вдохновившимся читателям не советую рваться в бой после прочтения материала. Советую поиграться с другими датами и БА, посмотреть, что будет с позицией, когда волатильность растет.


Код для поиграться:
github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/rehedge-interval.R
github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/rehedge-interval-transaction-costs.R

Философское отступление.

Что влияет на дельта-хеджирование? Это дельта нашей позиции. Эта дельта выводится из формулы БШ и зависит в целом от нашей позиции и волатильности базового актива, по которой была продана позиция (кому интересно, как выводится дельта, можно найти в моих предыдущих постах). Идеально, когда дельта нашей позиции близка к нулю. Это означает, что наши риски сведены к минимуму. Когда дельта далека от нуля, мы стремимся продать или купить базовый актив (БА), чтобы уменьшить дельту. Стремление уменьшить дельту и есть хеджирование.

Но ДХ не единственный способ уменьшить дельту. Стоит вспомнить про гамму, которая характеризует скорость изменения дельты. Чем реже меняется дельта, тем дешевле ДХ. Т.е. чтобы снизить стоимость ДХ, можно снизить гамму. А гамму можно снизить путем изменения опционного портфеля, иногда это может быть дешевле чем ДХ. К чему это здесь? К тому, что ДХ это не панацея и есть другие способы снижения рисков, о них мы будем говорить позднее, когда разберемся :)