О применимости АКФ в анализе временных рядов на примере акций ПАО Сбербанк

      В свете интереса к моим работам в области оценки рисков нестационарных объектов со стороны опционов и возникшего вопроса о применимости к анализу финансовых временных рядов методов классического статистического анализа проведём маленький численный эксперимент:

• Оценим АКФ акций ПАО Сбербанк за последние 8 лет :

Рис. 1. Тест Дики-Фуллера и автокорреляционная функция логарифмических приращений цен акций ПАО Сбербанк.


Как видно из теста, никаких трендов (англ. тенденций, закономерностей) на акциях Сбербанка классической математической статистикой не обнаружено и все АК коэффициенты лежат в пределе статистической погрешности при измерении нуля.


Однако, тест Дики-Фуллера, с одной стороны, разработан для стационарных, не-локализованных процессов и отражает только отсутствие трендов в среднем по времени, а с другой — проводится совершенно с другими целями выявления детерминированных сезонных и/или растущих тенденций, а не стохастических оценок рисков. В этом смысле мы будем интерпретировать АКФ не по-классически, детерминированно, а как функцию искажения случайности.

Прим. Вышесказанное означает, что любые средства ТА — волновой и свечной анализ, индикаторы и т.д. — будут в лучшем случае проигрывать стратегии «купил и держи» половину доходности (в предположении полу-случайных сделок).

• Построим простейшую нестационарную модель ценообразования:

Пусть E(t) — равновесная цена актива в момент времени t, детерминированная балансом спроса и предложения и подчиняющаяся законам броуновского движения dE(t) ~ N(0,GV), где GV — глобальная волатильность (изменчивость).

Пусть S(t) — рыночная цена, являющаяся по отношению к справедливой цене некоторым линейным фильтром и обладающая собственной, дополнительной неустойчивостью — антикоррелированными ошибками определения справедливой экономической цены. 

Запишем простейшую AR-1 модель:

dS(t) = acc * dE(t) + (1-acc)*dE(t-1)

где коэффициент асс является корреляционным коэффициентом и отражает конечную точность отражения рыночных равновесных цен через биржевые котировки.

• Оценим глобальную историческую волатильность актива E при помощи кода Матлаб:  

% x — исторические данные цен
% L — длина скользящего окна рассмотрения

function s=AdRisk(x,L)

[q]=length(x);
i=L; 

while i<q+1

f=x(i-L+1:i); 

%% Дисперсии
s(i,1)=std(f); % стандартная оценка

%% Оценка с учётом корреляций
y=f(2:L)-mean(f);
z=f(1:L-1)-mean(f);
c=y'*z/(z'*z);
s(i,2)=std((y-c*z)/(1-c));

end

s(1:L-1,:)=[];
plot(s); 

end

• Сравним полученные оценки волатильности (HV) и глобальной волатильности (HV AR adj) актива :

Рис2. Оценки собственной волатильности актива (синяя кривая) и волатильности его справедливых цен (зелёная кривая).  


Изображение демонстрирует, что в моменты трендовых движений (выделены вертикальными зонами), когда цены бьют по страйкам, оценка собственной волатильности актива оказывается значительно ниже (на 20-25%) оценки волатильности его справедливых цен. 

Историческая волатильность в среднем для акций ПАО Сбербанк занижена на 5% по сравнению с оценкой его глобальной волатильности.

Оценка глобальной волатильности имеет более адаптивную природу и быстрее реагирует на изменяющиеся условия среды.


Это расхождение между волатильностью рыночных и справедливых цен вполне способно объяснить стационарную переоценку опционов, наблюдающуюся на финансовых рынках (превышение IV над HV) :




Рис 3. Ожидаемая (VIX) и историческая волатильность опционов на индекс SP500, рассчитанная по 30-дневным опционам биржей CBOE .