Хитрая волатильность фьючерса

Что-то притих наш опционный курятник. Давайте немного поразжигаем!

Уверен, что почти все уважающие себя опционщики здесь знают наше любимое уравнение Блэка-Шоулза:



где V — стоимость опциона, S — цена акции, сигма — волатильность акции, r — безрисковая ставка

Также думаю, многие из них знают уравнение Блэка для стоимости опциона на фьючерс. Ведь по идее это оно должно быть нашим любимым на ММВБ, где мы торгуем именно такие опционы:



Где Vf — стоимость опциона на фьюч, F — цена фьюча, сигма — волатильность, r — безрисковая ставка

Вроде все красиво и понятно… но почему уравнение Блэка так отличается? Следите за руками:

Мы знаем, что из-за принципа безарбитражности, цена фьючерса жестко связана с ценой акции



где T — время экспирации фьюча.

Будем искать решение исходного уравнения Блэка-Шоулза в виде



После замены переменных в исходном уравнении получаем:



и в итоге приходим к уравнению Блэка:



Внимание вопрос: а что это за сигма у нас в уравнении Блэка? Это волатильность чего? Правильный ответ должен привести к некоторому разрыву шаблонов :)