Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов. Первый вопрос.
Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов.
В теории опционов ключевую роль играет понятие теоретической или справедливой цены. Чем правильнее она рассчитана, тем выше шансы игрока на получение прибыли. Обилие математики в опционных расчетах убеждает, что именно профессиональные математики должны преуспевать в этой игре. Не ставя под сомнение последнее утверждение, сформулирую несколько вопросов, ответов на которые и сам, вообще-то, не знаю. Вопросы, тем не менее, важные. От ответов на них зависит, вправе ли мы использовать аппарат ТВиС при нахождении справедливых цен опционов.
1. Насколько оправдано использование математического ожидания при нахождении справедливой стоимости опционов
При расчете справедливой цены опциона (то есть цены, не дающей преимущества ни одной из сторон) используется соотношение:
MO[выигрыш продавца] = MO[выигрыш покупателя] = 0
Почему именно матожидание? Ответ вроде бы очевиден – потому что это самая содержательная и самая удобная из всех числовых характеристик случайной величины. Теперь рассмотрим пример.
Санкт-Петербургский парадокс.
Рациональному инвестору предлагается купить лотерейный билет, выигрыш по которому определяется по результатам подбрасывания монеты. Монета подбрасывается до первого выпадения орла. Если орел выпал на первом же броске, игра заканчивается и покупатель получает выигрыш в размере: 2^0=1 рублей,
если на втором: 2^1=2, на третьем: 2^2=4, …, на k-м броске: 2^(k-1) рублей, ...
Необходимо рассчитать “справедливую” стоимость такого билета. Кажется очевидным, что она должна равняться математическому ожиданию выигрыша покупателя. Зная вероятности всех возможных исходов, нетрудно посчитать
MO[выигрыша] = 1/2^1 + 2/2^2 + 4/2^3 + …2^(k-1)*1/2^k+… = 1/2+1/2…+1/2+… = бесконечность.
То есть билет следует покупать по любой цене, поскольку она всегда будет ниже ожидаемого бесконечного выигрыша. Может показаться, что найденное решение противоречит здравому смыслу. На самом деле никакого противоречия нет. Из парадокса следует лишь то, что матожидание выигрыша нельзя считать единственным и универсальным критерием качества в задачах оптимального инвестирования. По крайней мере, не следует использовать его там, где у распределений возможны “тяжелые” хвосты.
В теории опционов, кажется, все согласны с тем, что терминальные распределения базовых активов имеют хвосты более тяжелые, чем хвосты логнормального распределения. Насколько тяжелые? Не оказываемся ли мы в зоне действия парадокса, там, где использование математического ожидания приводит к ошибочному решению?
Рад видеть!
Все они в одном месте, в вашем блоге:
smart-lab.ru/my/Kurbakovsky/blog/all/
просто те, которые набирают +15, выходят на главную
Так выше же написано: От Математиков ожидают преуспевания, что естественным образом сокращается до матожидания.
А петербургский парадокс потому и парадокс, что при бесконечном количестве денег его МО +бесконечность, а при любом конечном МО — отрицательно.
А ограничение на риск не цене, а в лимите. Где Вы видели страховки со ставкой «пан или пропал»?
Kurbakovsky, 1) Вы смешали в одну кучу матожидание и мани-менеджмент.
При вероятности 0.51 я всегда буду играть и всегда буду ставить на ту сторону, которая дает +1 с вероятностью 0.51.
Но при этом размер ставки будет определяться отдельными вычислениями (критерий Келли и т.д.)
2) Буквально пару недель назад озвучивал тот же вопрос:
smart-lab.ru/blog/505349.php
В итоге пришли к выводу, что МО является водоразделом. Если котировки выше МО — все знают что делать (продавать), если ниже — все тоже знают и покупают. Когда котировки ровно на МО — возникает максимальная неопределенность и система в этом состоянии может находиться неограниченно долго, пока не измениться само МО.
3) СПб-парадокс существует в неверном предположении существования в системе бесконечных денег. На самом деле в системе денег конечное количество, поэтому размер выплат де-факто снижается быстрее, чем обещанные 2^k
Емнип, есть даже какое-то разумное рассуждение, приводящее к конкретному конечному ответу в этой задачке.
Потому что дружно пришли к чисто инженерному решению о существовании МО-водораздела. А если МО не существует?
Причина 1 — сверхтяжелые распределения хвостов, типа Коши
Причина 2 — Новый опцион, похожий на классический, но с терминальной функцией выплат не (F-Strike) при F>Strike, а (F-Strike)^2. Попробуйте для него найти справедливую цену. Ничего не выйдет. То, что таких опционов в природе не существует, не аргумент — Вы же смотрите на проблему глазами ученого.
Kurbakovsky, п1. На реальном рынке хвосты достаточно тяжелые, чтобы существовало среднее и дисперсия.
п2. А в чем там проблема с этим странным опционом? Если на вскиду, то берем и интегрируем. Нормальное (пусть даже лог-нормальное) распределение падает достаточно быстро, чтобы интеграл сошелся.
В основном склонен докапываться до подробностей. Хотя иногда вынужден мириться с необходимость "просто взять и сделать хоть как-то". Хотя бы чтобы увидеть итоговый результат и понять нравится он мне или нет.
Kurbakovsky, а зачем? Да, Вы можете придумать функцию выплат при которой интеграл разойдется.
И что даст это упражнение? Будем смотреть на него и удивляться? В математике полно расходящихся интегралов. Почему Вас так удивляет именно этот? Потому что Вы назвали его "опцион извращенный расходящийся без матожидания и несуществующий в природе"?
ПС Нормальное распределение падает очевидно сверхстепенным образом как exp(-x^2) и может быть проинтегрировано с полиномом любой степени.
Представьте, что где-то начались торги опционами на спред WTI-Brent. Какую модель будете использовать? Неужели снова БШ+кривая волатильности. Или это тоже извращение?
Kurbakovsky, когда меня заинтересуют такие опционы — сяду и буду разбираться.
Формула БШ — просто формула. Можно вместо нее использовать разложение по вейвлетам. Но удобней все же БШ. Из использования в вычислениях формулы БШ не следует согласия с постулатами БШ равно как и согласие с лог-нормальностью процесса.
Тем более, что мы начинаем расходиться еще на раннем этапе на вопросе: "Является ли процесс случайным?".
Но надо помнить, что есть теория вероятности, а есть практика вероятности. Так вот, на практике, не зависимо от МО писец все равно может наступить. Это как играть в русскую рулетку с барабаном на 1000 патрон. Можно посчитать что МО получить пулю в голову очень мало, но почему то именно ты ее получишь.
Попробую поспорить, хоть и слаб в математике. Если предполагать что и у покупателя и у продавца есть бесконечное кол-во денег, то — да, справедливая стоимость (СпрСт) такой лотерейки была бы +беск. Но в реале то депо у каждого ограничено. И вместе с проблемой СпрСт параллельно и неразрывно есть вторая — на какую долю счета открываться. Очевидно, что в предложенной игре открываться «на всю котлету» — нельзя.
Получается такой вывод: СпрСт лотерейки с МО=+беск у каждого участника будет своя, в зависимости от депо. Алгоритм вычисления СпрСт мог бы быть такой: берем наугад некоторое значение (например, половину депо) и считаем его за СпрСт1. Вычисляем оптимальную долю счета (как МО функции полезности на заданном распределении вероятностей: 1/2, 1/4, 1/8 и т.д., подробнее — здесь). Отсюда узнаем — какое депо должно соответствовать СпрСт1. Если наше не соответствует, то делаем соответствующую коррекцию — СпрСт2. И все повторяем. Так, за несколько итераций вычислим СпрСт конкретно для нашего депо. Возможно, есть способ сделать это за один проход...
Давайте уж с ценой на акции его сопоставим.
Правильно ли понял Вашу позицию, что если МО существует, то справедливую стоимость опциона можно считать через него; а если МО не существует (слишком тяжелые хвосты или слишком быстро растущая ф-ция выплат), то справедливая стоимость все равно существует, но считать ее нужно не через МО?
Можете поделиться идеями, что можно использовать вместо МО?