Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов. Первый вопрос.

Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов.

В теории опционов ключевую роль играет понятие теоретической или справедливой цены. Чем правильнее она рассчитана, тем выше шансы игрока на получение прибыли. Обилие математики в опционных расчетах убеждает, что именно профессиональные математики должны преуспевать в этой игре. Не ставя под сомнение последнее утверждение, сформулирую несколько вопросов, ответов на которые и сам, вообще-то, не знаю. Вопросы, тем не менее, важные. От ответов на них зависит, вправе ли мы использовать аппарат ТВиС при нахождении справедливых цен опционов.


      1. Насколько оправдано использование математического ожидания при нахождении справедливой стоимости опционов

При расчете справедливой цены опциона (то есть цены, не дающей преимущества ни одной из сторон) используется соотношение:

MO[выигрыш продавца] = MO[выигрыш покупателя] = 0

Почему именно матожидание?  Ответ вроде бы очевиден – потому что это самая содержательная и самая удобная из всех числовых характеристик случайной величины. Теперь рассмотрим пример.

Санкт-Петербургский парадокс.

Рациональному инвестору предлагается купить лотерейный билет, выигрыш по которому определяется по результатам подбрасывания монеты. Монета подбрасывается до первого выпадения орла. Если орел выпал на первом же броске, игра заканчивается и покупатель получает выигрыш в размере: 2^0=1  рублей,

если на втором:  2^1=2, на третьем:  2^2=4, …, на k-м броске:  2^(k-1) рублей, ...

Необходимо рассчитать “справедливую” стоимость такого билета. Кажется очевидным, что она должна равняться математическому ожиданию выигрыша покупателя. Зная вероятности всех возможных исходов, нетрудно посчитать

MO[выигрыша] = 1/2^1 + 2/2^2 + 4/2^3 + …2^(k-1)*1/2^k+… = 1/2+1/2…+1/2+… = бесконечность.

То есть билет следует покупать по любой цене, поскольку она всегда будет ниже ожидаемого бесконечного выигрыша. Может показаться, что найденное решение противоречит здравому смыслу. На самом деле никакого противоречия нет. Из парадокса следует лишь то, что матожидание выигрыша нельзя считать единственным и универсальным критерием качества в задачах оптимального инвестирования. По крайней мере, не следует использовать его там, где у распределений возможны “тяжелые” хвосты.

В теории опционов, кажется,  все согласны с  тем, что терминальные распределения базовых активов имеют хвосты более тяжелые, чем хвосты логнормального распределения. Насколько тяжелые? Не оказываемся ли мы в зоне действия парадокса, там, где использование математического ожидания приводит к ошибочному решению?