Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Задача формулируется как описание игры, основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Наткнулся тут на замечательное доказательство высокой эффективности смены первоначального выбора.

https://www.youtube.com/watch?v=8IUGY6T0x_c

COREz

105

15 876

с 3 сентября 2016

50 Комментариев

Павел
07 августа 2018, 20:34
Теория не вероятности, а теория неопределенности вообще-то
+1
- А. Г.
  07 августа 2018, 22:00
  Павел, вообще-то теория вероятностЕЙ.
  0
  - Павел
    07 августа 2018, 22:22
    А. Г., probability вам в множественное число!
    0
    - А. Г.
      07 августа 2018, 23:48
      Павел, есть общепринятая терминология от классиков
      
      Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 80 с
      
      Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p. 247—271.
      
      Вообще то основным языком теории вероятностей до 20 века был французский, потом появилась терминология на русском (А. А. Марков, Чебышев) и немецком (Р. ф. Мизес), а английская терминология заимствована.
      +1
      - Antonov
        08 августа 2018, 11:18
        А. Г., каждый год на «Смарт-лабе» появляется пост о парадоксе Монти Холла. Какова вероятность, что в следующем году тоже появится пост о парадоксе Монти Холла?
        +1
        А. Г.
        08 августа 2018, 11:25
        Antonov,
        www.howtotrade.ru/forum3/posts/182.html
        0
Kuzyaka
07 августа 2018, 20:42
Теория вероятности позволяет определить вероятность наступления события. И, собственно, ответить на поставленный вопрос — "Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"
Так что, вообще-то теория вероятности :)
0
bocha
07 августа 2018, 20:43
Да просто там все. Два пространства.
Первое — у двери, где встал. Там известна вероятность =1/N
Второе пространство — все оставшиеся двери. Из-за действий ведущего вероятность иная = 1/(N-1)

Разумный инвестор не думает, а бодро чапает туда, где вероятность больше.
Профита!

+3
Иван Иванов
07 августа 2018, 20:45
Этот «парадокс» можно легко интуитивно объяснить. При первоначальном выборе мы находимся в одних условиях и вероятность равна 1/3, а когда одна дверь убирается, то условия меняются и мы уже находимся в вероятности 1/2. Но чтобы нам «попасть» в эти новые условия мы должны обязательно выбрать что то из 2-х вариантов, а так как один вариант уже был выбран, то нужно выбрать другой вариант. Так как если бы мы оставили первоначальный вариант, то мы по прежнему бы находились в первоначальных условиях 1/3
+1
- sortarray sortarray
  07 августа 2018, 20:47
  Иван Собакин,
  то мы по прежнему бы находились в первоначальных условиях 1/3
  
  Не находились бы
  После того, как ведущий открыл дверь ваши шансы в любом случае увеличиваются, независимо от того, смените вы дверь или нет
  +3
- Savin
  08 августа 2018, 00:38
  Увас 3 варианта, 1 правильный.
  Ведущий вам помогает устраняя 3й ошибочный вариант.
  Если вы изначально показали на козу (а это 66% вероятность) то после устранения 3го ошибочного варианта сменив выбор вы угадаете.
  Если вы изначально показали на авто (а это всего 33% вероятность) то после устранения 3го варианта сменив выбор вы не угадаете.
  Меняя выбор вы будете в матрице 66%ной вероятности.
  Если не менять выбор, останетесь в 33% вероятности и посути будете играть в игру угадай 1 из 3.
  Все же просто
  0
sortarray sortarray
07 августа 2018, 20:46
Тут мне кажется подвох. После того, как ведущий открыл дверь ваши шансы в любом случае увеличиваются
То есть, интуиция правильно подсказывает, это формулировка задачи сбивает с толку. И «каноничный» ответ там неверный, ИМХО
+2
sortarray sortarray
07 августа 2018, 20:54
вообще эту задачу можно свести к тому, что вместо выбора из 3х дверей, вам предлагается выбор из двух, и во второй части Вы как раз перед ним, а разрешение выбрать другую дверь эквивалентна разрешению сыграть еще раз. То есть смена двери тут как таковая не причем
Козы там тоже, видимо, чтобы запарить, они не обязательны:)
0
- Иван Иванов
  07 августа 2018, 21:02
  sortarray sortarray, если вам предлагают выбрать из 2 дверей, значит в 3 заведомо ничего нет, а второй раз из двух дверей уже не надо выбирать
  0
  - sortarray sortarray
    07 августа 2018, 21:03
    Иван Собакин, так оно и есть, ведущий исключил 3-ю дверь. Но от смены выбора шансы не изменятся.
    0
    - Иван Иванов
      07 августа 2018, 21:06
      sortarray sortarray, он исключил её уже после вашего выбора из 3-х дверей, а не сразу
      0
      - sortarray sortarray
        07 августа 2018, 21:18
        Иван Собакин, это ничего не меняет в отношении вторичного выбора
        0
        Иван Иванов
        07 августа 2018, 21:25
        sortarray sortarray, вот именно вы и должны совершить этот вторичный выбор. А если вы его не совершите(останетесь на прежнем варианте), то для вас вероятность выигрыша не увеличится
        +1
        sortarray sortarray
        07 августа 2018, 21:37
        Иван Собакин, У Вас выбор между двумя, по сути, неважно смените вы решение или нет. Это все равно что Вас заново выбрать просят, но уже из 2-х
        0
        Murad Sh.
        07 августа 2018, 22:18
        sortarray sortarray, суть в том, что при первом вашем выборе машина будет за одной из не выбранных дверей в 2 случаях из 3. Поэтому ведущему, чтобы открыть пустую дверь, придется давать вам подсказку опять же в 2 случаях из 3. Не будет же он открывать дверь, за которой машина. Т.е. в 2 случаях из 3 подсказка ведущего будет для вас полезной тем, что за другой не открытой дверью будет машина. Исходя из этих вероятностей нужно менять выбор. Естественно, что не всегда это будет правильно, но в 67% случаев.
        0
        sortarray sortarray
        07 августа 2018, 22:50
        Murad Sh., я не совсем понял. До открытия ведущим козы, у вас вероятность выиграть 1 к 3-м, после открытия козы 1 к 2-м. Ваш выбор из 2-х равновероятен, независимо от смены выбора, вот в этом суть. За любой из оставшихся дверей стоит машина с вероятностью 50%
        0
        Murad Sh.
        07 августа 2018, 22:55
        sortarray sortarray, до открытия ведущим козы, ведущему придется в 2 случаях из 3 открывать дверь не от балды, а именно нужную дверь, за которой коза. Поэтому в 2 случаях из трех за третьей дверью(не выбранной вами и не открытой ведущим) будет машина.
        0
        sortarray sortarray
        07 августа 2018, 22:58
        Murad Sh., Давайте так еще попробуем. Пусть участник не один, а два. каждый из них выбирает по двери. Ведущий открывает козу, и предлагает им поменяться местами. По вашей логике получится, что у них обоих возрастут шансы, если они поменяются?
        0
        Murad Sh.
        07 августа 2018, 23:02
        sortarray sortarray, а если оба участника выбрали двери, за которыми козы, какую дверь должен открывать ведущий? Которая не выбрана участниками, и за которой машина? Или одну из выбранных одним из участником, за которой коза?
        0
        sortarray sortarray
        07 августа 2018, 23:06
        Murad Sh., тогда никак, но этот пример демонстрирует несостоятельность этого «парадокса»
        Он может просто не открывать тогда дверь, это неважно, все равно абсурдность предположения что вероятность меняется от смены выбора этим примером доказывается, потому что согласно этой логики у них обоих должны возрасти шансы, что является абсурдом
        0
        Murad Sh.
        07 августа 2018, 23:13
        sortarray sortarray, такие правила могут быть только при условии наличия 1 участника.
        0
        sortarray sortarray
        07 августа 2018, 23:14
        Murad Sh., но сама вероятность от этих правил не зависит
        0
        Murad Sh.
        07 августа 2018, 23:17
        sortarray sortarray, либо при 2 участниках, когда открывается дверь, выбранная одним из них, у того участника, чью дверь открыли, вероятность 50%, а у другого — 67% (т.е. как если бы он играл один).
        +1
        sortarray sortarray
        08 августа 2018, 04:51
        Murad Sh., Да, Вы правы, похоже, спасибо:)
        0
        bocha
        08 августа 2018, 00:15
        sortarray sortarray, как я есть физик, то переформулирую задачу в крайность.
        Пусть есть 100 дверей. Участник встал у одной. 1/100 вероятность.
        У всех остальных дверей совокупная вероятность авто 99/100.
        Пусть теперь ведущий последовательно открывает все двери, где нет авто. Оставляет одну, где то ли есть авто, то ли нет.
        Побежим туда, или нет?
        Теория вероятностей заработает, если повторить весь этот эксперимент 100 раз. Например, в экселе )))
        +1
        sortarray sortarray
        08 августа 2018, 01:56
        bocha, У Вас будет все то же самое. Остается 2 двери, и вероятность каждой из них 50%. От смены выбора игрока ничего не меняется.
        На начальный момент игры вероятность выбранной двери действительно мала, но по мере открывания дверей она увеличивается пропорционально(как и та, которая останется)
        0
        bocha
        08 августа 2018, 02:12
        sortarray sortarray, а вы в экселе проверьте. 100 лотерей с выбором 1 из 100 дверей и сменой или не сменой выбора.
        Для простоты номера «выигрышных» дверей будем присваивать согласно номера эксперимента, от 1 до 100
        Я — как алчный инвестор, всегда буду менять дверь на последнюю оставшуюся и выиграю примерно 99 машин
        Вы — будете отстаивать свою (первоначально выбранную) дверь и выиграете 1 машину
        
        +1
        sortarray sortarray
        08 августа 2018, 04:51
        bocha, да, похоже Вы правы. Так и сделал, написал скрипт. Потом на свежую голову проверю еще. Но как то с трудом до меня это доходит:)
        +1
o07bond
07 августа 2018, 21:08
Опыт не соответствует условиям изначальной задачи. При первом выборе вероятность (один вариант из трех) наименьшая. Оба делают выбор. Затем ведущий говорит помошнице открой «пустую» тем самым увеличивая шансы Адама в два раза.
+1
🗝Багатенький Буратина
07 августа 2018, 21:37
Так после того как остались только две двери, неважно, сделаешь ты новый выбор или останешься при первом — в обоих случаях шансы 1/2.
+1
- Иван Иванов
  07 августа 2018, 21:43
  Багатенький Буратина, это для нового человека, который еще не делал выбора из 3 дверей, а вы уже сделали выбор из 3-х и сейчас чтобы увеличить свои шансы должны сделать ещё один выбор. А так как нельзя выбрать уже выбранную ранее дверь, вы должны выбрать другую
  0
  - Олег Медовой
    07 августа 2018, 21:47
    Иван Собакин, Очевидно, что можно просто не менять решение. Вероятность правильного выбора одинакова для обоих дверей что в первом, что во втором случае. Смена двери никак на это не влияет.
    +2
    - Иван Иванов
      07 августа 2018, 21:53
      Олег Медовой, не меняя решение вы не используете второй шанс на выбор двери и вероятность остается прежней 1/3. А тут предоставляется шанс выбрать уже из 2 дверей. Поэтому надо им воспользоваться, то есть выбрать другую дверь
      -1
- MegaFan
  08 августа 2018, 21:42
  Багатенький Буратина, представь, что дверей миллион. Ты выбрал одну, ведущий открыл все остальные, кроме одной. Вероятность. что ты изначально угадал 1/1 млн. Выигрышная стратегия — всегда менять выбор.
  -1
Стрельцов Павел
07 августа 2018, 22:07
Первый и второй выбор разделены внесением дополнительной информации извне. Это как если бы вы купили Газпром, а затем вам сообщили, что-то важное про него. Ваш следующий выбор(докупить или продать) делается уже в иных информационных условиях. Очевидно, что он будет более надёжным.
+1
noHurry
07 августа 2018, 22:27
Если выбор не менять — вероятность правильного выбора 1/3, а если выбор менять, то вероятность правильного выбора увеличивается до 2/3.
+1
Ovtsebyk
07 августа 2018, 22:31
Мой препод по теорверу 2 раза в неделю летал в москву читать лекции по теорверу.
садясь в самолет у него 1/миллионная вероятность попасть в авиакатастрофу. Но так как он летал 2 раза в неделю у него с каждым разом повышалась вероятность попасть в катастрофу,
а в месте с ним такая же вероятность у соседа в самолете, который первый раз в самолет попал?
+1
Том Шарк
07 августа 2018, 22:43
Даёшь редукцию волновой функции! И кота шрёдингера вместо козы
0
Antonov
07 августа 2018, 23:32
Задаче скоро будет сто лет в обед. Каждый год появляется пост о парадоксе Монти Холла, и все равно находятся умники, которые опровергают то, что уже давно доказано.
Для лучшего понимания есть даже графические картинки, которые полезны людям с гуманитарным аналоговым мышлением, а не цифровым, как у технарей. Была еще более простая наглядная картинка, но лень искать.

+2
Stepan K
07 августа 2018, 23:55
ИМХО самое простое объяснение — от обратного. Ваша цель — выбрать проигрышную дверь, итого 2/3 ваши шансы и 1/3 — на выигрышную. А далее все просто, выбрав проигрышную дверь и потом поменяв решение, вы со 100% вероятностью попадете в выигрышную.

ЗЫ Кто знает — напомните плиз художественный фильм, где лектор задает эту задачу и мальчик ее решает и объясняет.
0
billy
08 августа 2018, 04:41
это 21, голливуд в лас-вегасе
0