Об истинности в математике

Тут сегодня было пару постов касающихся математики в анализе рынков. Я сейчас не хочу подымать эту тему, о степени ее полезности, просто возникло одно соображение, навеянное этим.
Вы задумывались когда-нибудь что подразумевается под истиной в математике?
В обычном понимании, под истинностью понимается соответствие реальности, реальному положению вещей. Например, вам кто-то говорит: пошел дождь. Вы смотрите в окно, видите, что и вправду идет дождь. Значит его высказывание истинно.
Даже тут не так все просто, как кажется. Например, если Вы говорите: этот карандаш красного цвета, то для дальтоника это не будет истинным утверждением. Так что истина необъективна. Ну да ладно, сейчас не об этом.

В математике под истиной понимается другое. У нас есть система аксиом, и правила вывода. Все теоремы данной теории выводятся из этих аксиом, с помощью этих правил, и все выведенные утверждения, если они не противоречат друг другу и аксиоматике, являются истинными. Кстати, фактически все теоремы являются тавтологиями, и содержатся уже в аксиоматике(хотя автоматического вывода добиться так и не удалось)

Поняли в чем разница? В том что нам не требуется связь с реальностью, не нужно ничего проверять. Непротиворечие аксиомам — достаточное условие истинности. А то что аксиоматика построена верно, или адекватно, или то, что она имеет какую то связь с реальностью, или даже корректность правил вывода — этого вам никто не гарантирует. И вообще, тру-математика не волнуют подобные мелочи:)
Да и правила вывода варьируются от одной логической системы к другой.

математика

sortarray sortarray

sortarray

14 896

с 10 января 2016

22 Комментария

Серж пЕтрович
08 мая 2017, 22:49
именно так
поэтому, строго говоря, математика не является Наукой
она — «поверочный инструмент» для Науки изучающей свойства материи
+2
- sortarray sortarray
  08 мая 2017, 22:52
  Серж пЕтрович, ИМХО, она может на это претендовать только в роли прикладной дисциплины.
  0
MS
08 мая 2017, 23:35
Теорема Гёделя о неполноте.
--------------
А утилитарно математика к рынку вполне применима, вопрос в выборе подходящей модели, которой до сих пор никому не удалось.
0
- sortarray sortarray
  08 мая 2017, 23:50
  MS,
  Теорема Гёделя о неполноте.
  
  Вы уверены?
  Мне казалось что она о другом: о том, что если система полна, значит она противоречива. Хотя, честно говоря, никогда ее не понимал толком:) Точней, понимаю, что она доказывает, но не понимаю самого доказательства
  0
  - MS
    09 мая 2017, 00:04
    sortarray sortarray, если непротиворечива, то есть утверждения, про которые в её рамках нельзя вывести истинны они или ложны. Если начать её пополнять такими утверждениями как аксиомами, то придём к противоречивой.
    +1
    - sortarray sortarray
      09 мая 2017, 00:16
      MS,
      если непротиворечива, то есть утверждения, про которые в её рамках нельзя вывести истинны они или ложны.
      
      Это и есть неполнота.
      
      Но моя тема, собственно не об этом, не понимаю, какое это имеет отношение:)
      В любом случае, если мы имеем какую то систему аксиом, пусть даже самых нелепых, и оторванных от реальности, и правила вывода, и если мы выводим совершенно бесполезные, и противоречащие реальности теоремы, с точки зрения математики все ок:)
      
      То есть, допустим, корректность или непротиворечивость математической теории ничего не говорит нам о том, насколько наша модель адекватна реальности
      0
      - Kapral
        09 мая 2017, 00:24
        sortarray sortarray, всегда казалось, что Математика-Наука почти чисто экспериментальная…
        +1
        sortarray sortarray
        09 мая 2017, 00:26
        Kapral, Нет. Математика — чисто абстрактная наука, наука построения абстрактных моделей, она вообще не имеет дело с экспериментом, и к естественнонаучным дисциплинам не относится
        +2
        Kapral
        09 мая 2017, 00:30
        sortarray sortarray, Вы ее так воспринимаете. Как Математику-универсальный язык Науки. Как, кажется, Наш Гаусс сказал, «в Науке столько Науки, сколько в ней Математики».
        
        а я ее больше воспринимаю как экспериментальную Науку. Понимаю, смешно… но когда сто раз обсчитаешь что-то на калькуляторе, то приходит и такое понимание… В принципе, пора выпить…
        +2
        sortarray sortarray
        09 мая 2017, 00:40
        Kapral, да, каждый конечно, воспринимает по своему, но, если отталкиваться от канонических понятий, эксперимент — это часть научного метода, и эксперимент должен быть не только осуществим, но и многократно воспроизводим. Это все касается естественной науки, таких отраслей как физика, химия, биология и т.д., то есть, всех наук, изучающих природу. Но математика к таковым не относится. Там не требуется экспериментальных доказательств теории, и она находится вне рамок научного метода.
        +1
        Kapral
        09 мая 2017, 00:44
        sortarray sortarray,
        Там не требуется экспериментальных доказательств теории, и она находится вне рамок научного метода.
        думаю, это сейчас так. А Лет 2000 Назад, думаю, что сравнивали экспериментально, что 2+2 (9 раз)=2*10.
        +1
        А. Г.
        09 мая 2017, 10:53
        sortarray sortarray, а через что мы воспринимаем результаты эксперимента? Какие у нас объективные «приборы», кроме того что дано человеку природой или им же изобретено «по образу и подобию своему»? Кто доказал, что эксперимент — это реальная истина, а не такая же абстракция, как и математика, порожденная тем же человечеством?
        +2
        sortarray sortarray
        09 мая 2017, 11:00
        А. Г., это больше относится к философии, чем к сермяжной реальности:). Как бы, да, мы можем смотреть и не верить своим глазам, потому что все наши чувственные восприятия можно считать иллюзией, и, в случае эксперимента, коллективной иллюзией.
        Но это уже, дебри, как бы интуитивно понятно, где какая степень надежности. Если каждый раз Вы будете биться головой о стену и разбивать ее в надежде, что стены не существует, это мало что поменяет в практическом аспекте:)
        
        В более глубоком погружении в суть отношений между бытием и сознанием, то что Вы озвучили имеет место быть.
        Кстати, математическому мышлению, несмотря на его кажущуюся глубину абстрагирования, такое мировоззрение чуждо:) Как правило математик даже числа и геометрические фигуры воспринимает как объективную реальность:)
        0
        А. Г.
        09 мая 2017, 14:47
        sortarray sortarray, да я просто к тому, что любая наука — это порождение человечества и отделять одну от другой бессмысленно, потому что «по рождению» они «связаны одной цепью».
        +1
        Dim
        09 мая 2017, 09:51
        sortarray sortarray, во истину
        +1
- Борис Гудылин
  09 мая 2017, 11:31
  MS,
  
  «А утилитарно математика к рынку вполне применима, вопрос в выборе подходящей модели, которой до сих пор никому не удалось.»
  
  вполне применима — согласен, причем, по моему опыту, не особо мощная, практически школьного уровня (может, только функциональный оператор немного выходит за рамки, да основные концепции фрактальной геометрии и теории хаоса, но их достаточно в популярном изложении). А вот аксиоматика у меня — очень сильная, пожалуй, фрактальность — самое простое звено. Естественно, только одной математики — мало. Рынок — сложное междисциплинарное образование, вполне соответствует современному направлению — синергетике. Основные идеи для аксиоматики взяты из экономики, но и другим дисциплинам повезло, например, мощная и многозначная идея гистерезиса в физике проработана существенно лучше, чем в экономике.
  Модель получилась неплохая.
  За полтора года наблюдения за SL заметил только три поста, которые мог бы условно связать со своей аксиоматикой (с неафишируемой частью), но авторы не смогли или не стали их развивать.
  Точно знаю, что некоторыми аксиомами пользуются крупные игроки, но держат их в тайне.
  +1
Pechatnik
09 мая 2017, 00:39
Если «доказанная» теория не апробирована ( имеется ввиду мнение Общества ), она не имеет права на жизнь в глазах Общества. Доказательства теоремы в этом случае необходимо приводить в качестве одного из возможных вариантов наличия определенной гипотезы.
Однако, отсутствие желания ( либо возможности ) освещения наличия определенной гипотезы и одновременное утверждение ошибочности в существующих закономерностях, сложившихся в Обществе, может восприниматься как попытка принижения сложившегося уклада ценностей.
0
Pechatnik
09 мая 2017, 00:46
Математика является инструментом для проведения экспериментов, в данном случае, как я понимаю. Инструменты могут «эволюционировать», простите за неправильное определение.
+1
Чарльз Маккей
09 мая 2017, 03:34
Кэп, под истинностью в математике (математической логике) понимается true (1), а обратное — false (0). Однако 0 и 1 это однозначно философские категории… В 2016 году они были названы субъективными (в шутке с определением 'постправда'). И из всего вышеназванного непонятно зачем применять аксиомы на рынке. Пора уже выкинуть говно из башки.
+1
whattheheck
09 мая 2017, 03:53
математика — это язык математической логики.

Обсуждали это уже здесь

smart-lab.ru/blog/146424.php
+1
gr26
10 мая 2017, 06:21
В математике под истиной понимается другое

Математических дальтоников гораздо больше чем цветовых.
0