Об истинности в математике

Тут сегодня было пару постов касающихся математики в анализе рынков. Я сейчас не хочу подымать эту тему, о степени ее полезности, просто возникло одно соображение, навеянное этим.
Вы задумывались когда-нибудь что подразумевается под истиной в математике?
В обычном понимании, под истинностью понимается соответствие реальности, реальному положению вещей. Например, вам кто-то говорит: пошел дождь. Вы смотрите в окно, видите, что и вправду идет дождь. Значит его высказывание истинно. 
Даже тут не так все просто, как кажется. Например, если Вы говорите: этот карандаш красного цвета, то для дальтоника это не будет истинным утверждением. Так что истина необъективна. Ну да ладно, сейчас не об этом.

В математике под истиной понимается другое. У нас есть система аксиом, и правила вывода. Все теоремы данной теории выводятся из этих аксиом, с помощью этих правил, и все выведенные утверждения, если они не противоречат друг другу и аксиоматике, являются истинными. Кстати, фактически все теоремы являются тавтологиями, и содержатся уже в аксиоматике(хотя автоматического вывода добиться так и не удалось)

Поняли в чем разница? В том что нам не требуется связь с реальностью, не нужно ничего проверять. Непротиворечие аксиомам — достаточное условие истинности. А то что аксиоматика построена верно, или адекватно, или то, что она имеет какую то связь с реальностью, или даже корректность правил вывода — этого вам никто не гарантирует.  И вообще, тру-математика не волнуют подобные мелочи:)
Да и правила вывода варьируются от одной логической системы к другой.