Ликбез про теорию вероятностей

Сложился стереотип, что теория вероятностей – это человеческая наука  о случайности. На самом деле это не совсем точно. Это математическая дисциплина, изучающая свойства вероятностных пространств. Что такое вероятностное пространство? Это человеческая математическая модель для случая, когда пока ненаблюдаемое является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые. А что такое случайность? Это когда наше лучшее знание о пока ненаблюдаемом является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые. Т. е. теория вероятностей занимается лишь изучением второй части из определения случайности и никак не доказывает и не опровергает гипотезу о нашем лучшем знании о пока ненаблюдаемом. Т. е. в основе теории вероятности лежит гипотеза об объективном существовании случайности.

И как определяется вероятностное пространство? А определяется оно исключительно в виде частного случая теории множеств, лежащей в основе всей современной математики. Откажитесь от теории множеств и вся современная математика рассыпается в прах.

Итак вероятностное пространство – это сигма-алгебра с мерой на нем, называемой вероятностью.

Что такое «сигма-алгебра»? Это множество с обычными операциями на его подмножествах объединение («или») и пересечение («и»), обладающее замкнутостью относительно счетно-аддитивной операции объединения, т. е.  любое объединение вида

UМ_i i=1,2,…, в свою очередь является подмножеством исходного множества.

Сложно и нелогично? Не вижу ничего сложного и нелогичного в условии замкнутости для операций «или» в части описания всего возможного набора будущих событий. Например, что необычного в событии для бросания монетки «выпадет орел или решка». Это не событие? Вполне себе событие, описывающее множество  возможных будущих исходов бросаний. Единственная абстрация – это объединение бесконечного числа подмножеств,  пронумерованных рядом натуральных чисел. Сложно привести простой и понятный любому человеку пример, что это за «зверь» и зачем он нужен. НО! Весь современный математический анализ (сложение, умножение, интегралы, дифференциалы и прочее основаны на этой самой счетной аддитивности) и потому можно констатировать, что она добавлена в теорию вероятностей с одной математической целью: чтобы можно было пользоваться методами математического анализа при изучении вероятностных пространств. Поэтому критика счетной аддитивности, как непонятной и бессмысленной абстракции, является не отдельной критикой теории вероятностей, а критикой всего современного математического анализа. Считаете математический анализ бесполезной абстракцией? Ну тогда и теорию вероятностей можно рассматривать аналогично.

Второй «стороной» вероятностного пространства  является мера на нашем множестве, называемая вероятностью. Что такое просто мера? Это действительнозначная неотрицательная функция f на сигма-алгебре (т. е. множестве замкнутом относительно операции объединения подмножеств), удовлетворяющая нескольким вполне логичным условиям:

1) f(AUB)=f(A)+f(B)-f(AB)

2) если A подмножество B, то f(A)<=f(B)

3) если для любых i и j М_iM_j равно пустому множеству, то

f(UМ_i i=1,2,…,) = сумма f(M_i).

Что неестественного в этих условиях? Разве что в третьем условии бесконечность опять вызывает вопросы, как абстракция.

А почему наша мера Р называется вероятностной? А потому что к условиям для обычной меры добавляются еще два

1.  Р(пустого множества) = 0

2.  Р(от всего множества)=1

И в чем  отличие от меры вообще? Только в конечности, потому что любую конечную меру можно путем центрировки и нормировки   «загнать» в интервал [0,1]. Кстати, переход в нечеткой логике от интервала [0,1] к произвольному конечному интервалу выдается за новое слово в науке. С какого будуна, если операциями вычитания и деления, изучаемыми в начальной школе, все сводится к тому же [0,1]?

Как видите, ничего нелогичного и сложного в определении основного объекта изучения теории вероятностей нет, за исключением абстракции  с бесконечной счетной аддитивностью. Да и последнее – это следствие основы современного математического анализа.

Вот и вопрос: чем плоха данная модель для описания случая

пока ненаблюдаемое является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые?

Разве для таких случаев можно представить, что нет операций «или» и «и» на событиях? Ерунда, это есть всегда.  Шансы событий могут быть бесконечными?  Ну ка нарисуйте мне бесконечность :). Счетная аддитивность? Ну да, это и представить сложно и ограничение, но для чего? Да только для того, чтобы пользоваться математическим анализом, хотя бы элементарными сложением, вычитанием и делением. Вы считаете, что  операции – глупость человеческая? Ну тут уже мне возразить нечего. Это Ваше право так считать. И спорить нужна математика вообще или не нужна можно до бесконечности. Но если мы считаем, что  математика нужна и соглашаемся с тем, что то, в том, с чем мы работаем,  пока ненаблюдаемое является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые, то без вероятностного пространства нам не обойтись, а значит и не обойтись и без теории вероятностей, как единственной науки об изучении его свойств.

А какая альтернатива у предположения пока ненаблюдаемое является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые? Только одна: это пока ненаблюдаемое может быть предсказано точно и значит ошибок и даже локальных убытков у нас нет и быть не может. Вы готовы для рынка доказать последнее?