Расчёт греков в терминалах EXANTE, Interactive Brokers и Think or Swim

А у вас когда-нибудь были проблемы из-за неправильного подсчёта греков? Неудивительно, ведь даже самые продвинутые терминалы расходятся в своих вычислениях. Казалось бы, такое невозможно, учитывая, что расчеты некоторых параметров делает сама биржа. Однако мы сравнили данные в трех разных терминалах и пришли к удручающих выводам.

К примеру, если Дельта для подсчета опциона на индекс S&P 500 в терминалах EXANTE и IB почти одинакова, то оценки ToS сильно отличаются. С расчетом Тэты ситуация обстоит еще хуже – результаты всех терминалов расходятся на десятки процентов. 



Сегодня мы расскажем, почему корректность вычисления греков так важна в трейдинге, и в каком терминале реализована наиболее точная модель расчетов.

Опцион – один из самых рисковых и азартных финансовых инструментов. На нём, теоретически, можно быстро получить большие прибыли. Размер потенциального проигрыша заранее известен – это цена, за которую вы покупаете опцион (премия опциона). Размер же потенциального выигрыша не ограничен. Эта асимметрия привлекает к опционам многих новичков, но без опыта и знаний они обычно больше проигрывают, чем выигрывают. Для них опционы работают как лотерея: ведь там тоже проигрыш известен и невелик, а выигрыш может быть гораздо больше. Но вероятность проиграть – непропорционально больше, чем вероятность выиграть. Игроки в лотерею в среднем больше проигрывают, чем выигрывают.

Греки на доске опционов EXANTE 

Отличие опциона от лотереи состоит в том, что при торговле им есть место не только случайности, но и экономическому расчёту. Есть математические методы анализа рыночных данных, позволяющие профессионалам больше выигрывать, чем проигрывать. Эти методы сложны, но сегодня часть вычислений делается за трейдера компьютерными программами. 

Примеры опционных коэффициентов, которые требуют сложных вычислений, но в современных программах даются в готовом виде – это так называемые греческие коэффициенты, или просто греки. Их знание позволяет трейдеру гораздо легче оценивать шансы на выигрыш. Проблема, однако, в том, что не все торговые терминалы считают греки одинаково. И вопрос о том, каким методом их вычислять, касается не только математики, но и самого фундамента экономической мысли, самой философии экономики. Это тот особый случай, когда философия имеет самое прямое отношение к практике: от неё зависит выигрыш трейдера. 

Торговый терминал EXANTE – относительно молодая программа, но она «стоит на плечах гигантов» и учитывает ошибки более старых и известных программ. В ней реализован нестандартный и изящный подход к вычислению греков, «разрубающий» ряд упомянутых неоднозначностей как «гордиев узел». Но прежде, чем сравнивать разные терминалы, расскажем о самих греках и о том, зачем они нужны в трейдинге.

1. Что такое греки опционов и зачем они нужны

Греческие коэффициенты, или просто греки (Greeks) – это дифференциальные величины, которые показывают, как цена опциона зависит от других рыночных параметров – от цены базового актива, его волатильности и т. д. Выделяют греческие коэффициенты первого, второго и третьего порядков. 

Наиболее важны греки первого порядка: Дельта (Δ), Вега (ν), Тэта (ϴ), Лямбда (λ), Ро (ρ), Фи (φ). Они вычисляются непосредственно из рыночных данных (с помощью выбранной математической модели опционов, например, модели Блэка-Шоулза). Греческими они называются по понятным причинам: большинство из них названы в честь греческих букв. Исключение составляет Вега. По странным причинам это «грекоподобное» название используется в сочетании с совсем другим греческим символом Ню (ν), а раньше этот коэффициент вовсе называли Каппа. Греки второго порядка вычисляются на основе греков второго порядка, греки третьего порядка – на основе греков второго, и т. д. Самый известный грек второго порядка: Гамма (Γ).

В торговом терминале EXANTE вычисляются четыре грека: Дельта (Δ), Вега (ν), Тэта (ϴ) и Гамма (Γ). Подробнее всего мы расскажем о коэффициенте Дельта, который считается самым важным в трейдинге. 

1.1 Дельта

Дельта (Delta, Δ) – это производная цены опциона по рыночной цене базового актива. 

Цена опционов меняется по мере изменения цены базового актива. Например, если мы торгуем опционами на нефть, то рост цены нефти на несколько процентов может изменить цену опционов на неё в разы (какие-то сильно подорожают, какие-то обесценятся). Дельта – это сумма, на которую меняется цена опциона при изменении цены базового актива на единицу. 

Дельту не стоит путать с производной цены опциона по страйку. Эти величины близки, но не тождественны. И если производную цены опциона по страйку легко вычислить по перепаду цен на опционы с близкими страйками, то Дельта вычисляется гораздо сложнее. Иногда Дельту также называют вероятностью, что опцион будет исполнен в деньгах. Но это вероятность очень идеализированная, вычисленная в предположении чисто случайных колебаний цен и других допущений. Если на основе Дельты напрямую вычислять вероятности исполнения ваших опционов, то есть серьёзная опасность проиграть из-за неучёта других факторов (например, политических изменений, которые нетрудно узнать из новостей, но которые не вклчаются в математические модели). 

Как бы то ни было, Дельта полезна трейдеру, как минимум, в двух вопросах.

Во-первых, Дельта показывает ожидания участников рынка относительно будущей динамики цен базового актива. Например, если Дельта по модулю близка к единице, то большинство участников рынка уверены, что эти опционы будут исполнены в деньгах, а если она близка к нулю – то вне денег. Все они могут ошибиться, но это, по крайней мере, даёт информацию о настроениях трейдеров.
Во-вторых, Дельта (по определению) показывает, как меняется цена опциона при изменении цены базового актива. Её знание позволяет предсказать динамику цены опциона при различном движении цены базового актива (и оценить, какой будет выгода при перепродаже опциона).

Правда, цена опциона зависит не только от цены базового актива, но и просто от времени. Она снижается по мере приближения даты погашения, и этот процесс отражает другой греческий коэффициент – Тэта.

1.2. Тэта

Тэта (Theta, ϴ) – это скорость изменения цены опциона по мере приближения даты его погашения при прочих равных условиях. 

Как мы уже сказали, цена опциона испытывает колебания вслед за колебаниями цены базового актива. Но если цена базового актива постоянна, то цена опциона склонна снижаться. Это называется временным распадом опциона, и именно его скорость отражает Тэта. Самые высокие значения Тэта приобретает непосредственно перед погашением, когда опцион лавинообразно теряет ценность. 

Знание Тэты, как и знание Дельты, полезно для оценки вероятности выгодной перепродажи опциона до погашения. Если Тэта невелика, то негативным трендом можно пренебречь, и весьма вероятно, что колебания цен однажды приведут к подорожанию опциона. Конкретную выгоду можно вычислить на основе Дельты. Но если Тэта велика, то быстрый распад опциона радикально снизит вероятность его выгодной перепродажи.

Посмотрим, как на практике могут соотноситься динамика базового актива и цены опциона. Выберем в качестве базового актива фондовый индекс S&P 500 и проанализируем колл-опцион на него со страйком 2140 и датой погашения 15 июля 2016 года. 

График индекса S&P 500 

График цены колл-опциона на индекс S&P 500 со страйком 2140 и погашением 15 июля

Колебания цены опциона примерно соответствуют колебаниям индекса, но цена опциона гораздо волатильнее (глубина колебаний определяется Дельтой) и имеет негативный тренд, которого нет у индекса (его величина определяется Тэтой). 

1.3. Вега

Вега (Vega, ν) – это скорость изменения цены опциона при изменении волатильности базового актива. 

Это ещё один грек первого порядка. Вега всегда положительна, так как рост волатильности повышает вероятность выгодной перепродажи опциона. Если Вега в терминале EXANTE равна единице, это значит, что при увеличении волатильности на 1 процентный пункт опцион дорожает на 1 ценовой пункт. По мере приближения даты погашения Вега падает. 

1.4. Гамма

Гамма (Gamma, Γ) – это производная коэффициента Дельта по цене базового актива. 

Гамма — это грек второго порядка, так как для его вычисления необходимо знание грека первого порядка (Дельты). Если Дельта по модулю близка к нулю или единице, то Гамма близка к нулю. Максимальной Гамма бывает в точке наиболее резкого изменения Дельты и говорит о максимальном риске и неопределённости. Для колл и пут опционов Гамма примерно одинакова, потому в EXANTE отображается в общей колонке. 

2. Греки в терминале EXANTE. Пример простейшего рыночного анализа на их основе

Посмотрим, как можно работать с греками в терминале EXANTE. Выберем опцион на индекс S&P 500, тикер SPX. Введём SPX в поле поиска в окне Instruments и на появившемся индексе («Stocks & ETFs > INDEX > SPX») в контекстном меню выберем «Option Board».

Контекстное меню, с помощью которого в окне инструментов торгового терминала EXANTE можно перейти от выбранного актива к таблице доступных опционов на него 

Откроется следующая доска опционов. 

Опционы на индекс S&P 500 на доске опционов EXANTE

Это опционы на S&P 500 с самой близкой датой погашения. Скриншот снят 17 июня, поэтому самая близкая дата оказалась 15 июля. При желании, эту дату можно изменить, щёлкнув вверху окна на надпись 15N2016 и выбрав вариант из списка. Но мы этого делать пока не будем. 

Этот скриншот не очень информативен, так как на нём нет греков. Их можно добавить в таблицу через меню в правой верхней кнопке доски опционов. 

Меню выбора колонок на доске опционов EXANTE

Мы выбрали галочками параметры Delta и Theta и убрали Size. 

Доска опционов EXANTE с добавленными колонками греческих коэффициентов (опционы на индекс S&P 500)

Какую информацию дают нам Дельта и Тэта?

Самое простое, что можно понять на основе Дельты – это настроения на рынке. Например, для колл-опционов со страйком 1900, Δ = 0.90. Это значит, что большинство трейдеров не верят, что за оставшееся время S&P 500 опустится так низко. А при страйке 2160, Δ = 0.07. Значит, трейдеры сильно сомневаются, что индекс окажется выше 2160 (на самом деле, к 15 июля S&P 500 всё же достиг этого значения). Основной ажиотаж наблюдается на промежуточных значениях Дельты: в районе страйка 2060. Здесь Δ = 0.54 и неопределённость особенно велика. 

Но основной смысл греков – не оценивать вероятность выгодного погашения опциона, а оценивать изменения его цены до погашения. Заработать на опционе можно не только выгодно погасив его, но и выгодно перепродав до даты погашения. Оценим эту возможность на основе греков 

Предположим, что мы купили опцион со страйком 2140 за $5.3. Для него Δ = 0.74, ϴ = -0.27. На момент снятия скриншота значение индекса было 2068. Получить выгоду с этого опциона можно в двух случаях:

• 15 июля индекс будет выше 2145. Мы уже заплатили $5, в момент погашения заплатим ещё $2140 и обратно получим сумму, равную новому значению индекса.
• До 15 июля индекс хотя бы раз поднимется достаточно, чтобы опцион подорожал на величину, превышающую спрэд и комиссии (скажем, $1).

Как мы уже знаем, первый вариант бы сработал: 15 июля S&P 500 был равен 2160, и в случае сделки мы бы получили выгоду $2160-$2145=$15. Но 20 июня мы об этом не знали, и имеет смысл оценить выгодность второго варианта.

20 июня до погашения опциона оставалось меньше месяца. Предположим, что никакого Brexit не планируется, и жизнь просто идёт своим чередом. Как в оставшееся время могла бы повести себя цена базового актива? Выше мы приводили график S&P 500. В течение двух месяцев он колебался в интервале 90 пунктов, а на коротких горизонтах порядка недели — в интервале порядка 40 пунктов. Если и дальше S&P бы вёл себя так же, то до времени погашения он бы почти точно хоть раз поднялся на 20 пунктов. А значит, опцион бы подорожал на 20*Δ = 20*0.74 = $14.8. И это весьма скромная оценка: реально, как мы знаем, индекс до 15 июля поднялся не на 20, а на целых 90 пунктов.

Казалось бы, этот опцион очень выгоден. Он стоил лишь $5, но легко мог подорожать в разы. Но для корректного анализа надо также учитывать вклад Тэты. В нашем случае она велика: каждый день в июне опцион при прочих равных условиях терял порядка четверти доллара (а в июле – и того больше). Если бы индекс вырос на требуемые 20 пунктов через 4 дня после покупки опциона, то опцион бы стоил не $14.8, а не более $13.8, если через 8 дней — то порядка $12. А если бы требуемое подорожание случилось лишь в последние числа до погашения – то, вероятно, никакой выгоды получить бы не удалось.

Итак, оценить выгодность сделки на глазок не всегда возможно. При реальной торговле профессионалы предпочитают делать это строгими математическими методами. Но наши рассуждения не претендовали на строгость. Наша задача была лишь в том, чтобы показать, как знание греков помогает улучшить прогноз возможной прибыли (пусть в нём есть куча других неизвестных). Без знания греков трейдер был бы попросту слеп. 

3. Расхождения греков в разных торговых терминалах

Против трейдера, вычисляющего свои шансы с помощью греков, работают сразу два фактора. 

Греки – это всегда прогноз, и делается он идеализированно. Даже довольно сложные математические формулы неспособны учесть всех факторов (узко экономических, политических, форс-мажоров), влияющих на рынок. И если расчёты показывают, что ваш опцион выгоден – это не гарантирует получение выгоды на практике. Этот фактор можно назвать системной погрешностью, потому что избавиться от него невозможно.
Существуют разные подходы к вычислению греков, и в разных торговых терминалах греки могут сильно отличаться. И порой даже незначительная ошибка может перевернуть прогноз: невыгодный опцион покажется выгодным, и наоборот. Но на этот фактор трейдер может и должен влиять, выбирая брокера и терминал, которые считают греки наиболее корректным способом.

Посмотрим для примера, как расходятся оценки Дельты и Тэты в трёх терминалах: EXANTE (наш терминал), Interactive Brokers и Think or Swim (другие довольно популярные терминалы). Чтобы сравнение было репрезентативным, сравним результаты вычисления греков для трёх опционов с принципиально разными базовыми активами и временами погашения. 

Начнём с опциона на индекс S&P 500 с датой погашения в декабре 2018 года. Именно на таких длинных горнизонтах точность прогноза особенно важна. Посмотрим, как он выглядит в трёх терминалах. 

Опционы декабря 2018 года на индекс S&P 500 в торговом терминале Think or Swim. В названиях опционов буквой C обозначены колл-опционы, P – пут-опционы, а последние четыре цифры задают страйк. В графе Impl указана подразумеваемая волатильность индекса

Опционы декабря 2018 года на индекс S&P 500 в торговом терминале Interactive Brokers. Страйк указан в середине таблицы

Опционы декабря 2018 года на индекс S&P 500 в торговом терминале EXANTE. В графе IV указана подразумеваемая волатильность индекса

Все эти три скриншота были сняты в течение примерно минуты. Поскольку рыночная цена опционов меняется быстро, некоторые одинаковые Bid- и Ask-ячейки содержат немного разную информацию. Но греки со временем меняются очень медленно, и на всех скриншотах они, теоретически, должны быть одинаковы. Но так ли это? Приведём несколько примеров.

В таблице мы округлили все величины до двух значащих цифр, как это делается в терминале EXANTE. Красным цветом отмечены самые серьёзные отклонения (когда одно значение отличается от двух других более, чем в полтора раза). Дельта в EXANTE и Interactive Brokers почти одинакова. Сильнее отличается результат Think or Swim. И совсем плохо обстоит ситуация с вычислением Тэты. Почти везде результат Think or Swim отличается на десятки процентов, а то и в разы. Наконец, для двух крайних позиций – P2600 и C1400 – все три терминала дают несовместимые результаты. 

Обратимся теперь к совсем другим опционам: опционам на нефть с временем погашения в сентябре 2016 года.

Опционы на нефть сентября 2016 года в торговом терминале Think or Swim. В названиях опционов буквой C обозначены колл-опционы, P – пут-опционы, а последние четыре цифры задают страйк. В графе Impl указана подразумеваемая волатильность нефти

Опционы на нефть сентября 2016 года в торговом терминале Interactive Brokers. Страйк указан в середине таблицы

Опционы на нефть сентября 2016 года в торговом терминале EXANTE. В графе IV указана подразумеваемая волатильность нефти

Вновь сравним показатели в единой таблице. 

Рассмотрим третий пример: опциона с таким же временем погашения (сентябрь 2016 года), но на совершенно другой, экзотический, базовый актив VIX – индекс волатильности индекса S&P 500. Это не нефть, не акция и не сумма цен акций. Это чисто математический объект, отражающий нестабильность цен на финансовых рынках. Чем выше показатели индекса VIX — тем более волатилен рынок. Например, сейчас (июль 2016 года) он равен 11, во время британского референдума Brexit (июнь 2016) поднимался до 28, а в конце 2008 года – приближался к 80. Опционы на индекс – это игра предсказаний, насколько волатилен будет в будущем рынок. На этот раз расхождения невелики: нигде ошибка не выходит за 30%. Может быть, это связано с близостью погашения опционов: всё уже довольно предсказуемо? Но это не совсем так.

Игра на VIX связана с неопределённостями второго порядка. Поскольку VIX отражает волатильность уже существующих активов, его собственная волатильность особенно велика. Например, очень маловероятно, что нефть за пару дней изменится в цене в 2-3 раза. А VIX во время Brexit примерно так и менялся. Следовательно, его значения плохо предсказуемы даже на месячных горизонтах. Как мы увидим ниже, это затрудняет и вычисление греков.

Опционы сентября 2016 года на индекс VIX в торговом терминале Think or Swim. В названиях опционов буквой C обозначены колл-опционы, P – пут-опционы, а последние четыре цифры задают страйк. В графе Impl указана подразумеваемая волатильность индекса

Опционы сентября 2016 года на индекс VIX в торговом терминале Interactive Brokers. Страйк указан в середине таблицы

Опционы сентября 2016 года на индекс VIX в торговом терминале EXANTE. В графе IV указана подразумеваемая волатильность индекса

На этот раз все значения довольно хорошо сходятся для Тэты и расхождения между ними находятся в рамках точности отображения данных EXANTE. Но с Дельтой ситуация обстоит хуже, чем для нефти и S&P 500. Кроме того, имеет смысл обратить внимание на ещё одну графу на досках опционов: графу подразумеваемой волатильности. Об этой величине мы подробнее поговорим в следующей части, а пока лишь отметим, что это предполагаемая участниками рынка будущая волатильность базового актива (в случае с VIX – волатильность волатильности рынка!), и эта величина крайне важна в алгоритмах расчётов греков. Ошибки в ней неизбежно приводят к ошибкам греков. 

Нарисуем привычную таблицу, но не для Дельты и Тэты, а для Дельты и подразумеваемой волатильности индекса VIX. Для высших страйков пут-опционов в Think or Swim подразумеваемая волатильность не вычислена, а потому сравнение проводить некорректно. Оставим лишь ячейки с конкретными цифрами. Показатели Interactive Brokers и EXANTE близки по обоим параметрам, но Think or Swim для волатильности «показывает погоду». Как результат, Дельта для большинства страйков тоже заметно отличается от значений других двух терминалов (хотя и не столь радикально для коллов). 

• Простой способ. Сравнивать показатели из разных терминалов и верить тем, которые «одобрены большинством». Иногда это выглядит здраво. Например, в примере с VIX налицо проблема алгоритма Think or Swim, а другие два терминала дают настолько близкий прогноз, что ему можно поверить. Но для колл-опциона на SPX со страйком 2600 этот подход не работает: во всех трёх терминалах Тэта отличатся в разы, и трудно объявить “крайним” какой-то один терминал.
• Фундаментальный способ. Разобраться в том, как вычисляются греки, почему при их вычислении возможна неоднозначность, какой способ вычисления предпочтительнее, и в каком терминале он реализован. Именно об этом мы поговорим в следующей части.