О применении теории вероятностей и математической статистики в трейдинге

Натыкаясь на разные статьи о трейдинге, очень часто читаешь про некое матожидание. Например, среди «ручных» трейдеров постоянно циркулирует мысль о необходимости торговать положительное матожидание. Про «роботизированных» трейдеров и говорить нечего — у этой группы товарищей матожидание возведено в ранг святыни.

По большому счету, никакого матожидания ни у «ручников» ни у «робокопов» нет. У тех и других есть лишь средняя сделка, которую объективно можно посчитать по осуществленным на реальном счете торгам. Понятно, что любители роботов могут посчитать не только фактическую, но и гипотетическую среднюю сделку, какой она была бы на предыстории, если бы да кабы. Аналогично «ручные» трейдеры могут посчитать среднюю сделку на истории в зависимости от разных условий и правил при хорошей формализации. Собственно, при таком подходе никакой разницы между «ручными» и «роботизированными» трейдерами нет.

Итак, средняя есть, а матожидания нет. И взяться этому матожиданию неоткуда. Почему? В классической связке ТВиМС среднее как оценка матожидания воспринимается как оценка последнего не потому что в пределе при сходимости по вероятности, становясь эффективной, несмещенной и т.д. оценкой, средняя становится матожиданием, а потому что изначально всё строится в рамках простой схемы доминирования теории вероятностей над математической статистикой. Говоря проще, данные, по которым строится оценка матожидания, являются выборочными относительно некой генеральной совокупности, для идеальной модели которой существует матожидание.

Рассмотрим простой пример. Имеется конечная последовательность, например, длины 1000000. Каждый четный член этой последовательности равен единице. Каждый нечетный член равен нулю. Откуда взялась эта последовательность? Ну, скажем, есть некий генератор, который её выдал на выходе. Т.е. в принципе этот генератор выдаст следующий миллион первый член. Каким он будет? Отвечая на этот вопрос, мы начинаем заниматься всей этой «ерундой» про вероятности и матожидания.

В чем смысл этого вопроса? У него в чистом виде два подтекста. Первый: будет ли новый член равен нулю или единице. Второй: может ли этот член быть не равен нулю и не равен единице.

Похоже на трейдинг? Похоже.

С точки зрения ответа мы должны разобраться вот в чем. Данная последовательность случайная или детерминированная? Обидно, но на этот вопрос ни ТВ ни МС ответа дать не могут. Почему? Во-первых, потому что ни ТВ ни МС не знают, в чем суть случайности и чем случайное отличается от неслучайного. Во-вторых, догадайтесь сами:)

Под случайностью в данном случае понимается именно значение каждого члена этой последовательности, а не способ записи. Т.е., если мы видим конечную периодическую последовательность нулей и единиц, то мы не можем ничего сказать о том, случайна ли такая последовательность. Исключением будет лишь наш бытовой опыт, согласно которому мы будем думать, что данная последовательность неслучайна до тех пор, пока новый член последовательности не сломает наши представления.

Далее. Если предположить, что данная последовательность была случайной, то, например, уместен вопрос о том, каков тип этой случайности? Скажем, эта последовательность есть реализация равномерного или нормального или какого угодно иного распределения? Парадоксально, но даже на этот вопрос ни ТВ ни МС ответа дать не смогут, поскольку периодическая последовательность нулей и единиц может быть реализацией как равномерного, так и нормального распределения, но с разной вероятностью. Однако, малая вероятность не запрещает событие. Когда вероятность работает? Когда мы имеем множество одинаковых исходов, чтобы дать вероятности шанс реализоваться. Хотя это абсурд по сути, ибо вероятность может быть сколь угодно большой, но при этом никак не проявляющейся при увеличении числа одинаковых исходов.

Итак, если теория вероятностей не может ответить на вопрос о случайности конечной последовательности, то как эта теория может быть полезной в трейдинге? Оказывается, что может:) Так или иначе, в жизни людей, опирающихся на расчеты согласно ТВиМС, решающую роль играет опыт и здравый смысл, хотя эти расчеты обладают довольно высокой, но не решающей информативностью.

Поэтому выигрывает на рыке тот, кто эффективно решает «человеческую», а не математическую задачу приведения рынка к определенной модели, например, стохастической.

Однако, этот забавный переход от среднего к матожиданию и наоборот настолько увлекательное занятие… Как тут не упомянуть Платона и иже с ним?..