Риски и математическое ожидание в трейдинге, их взаимосвязь

При размещении ставок любого типа всегда существует определенная вероятность получения прибыли и риск потерпеть неудачу, И положительный исход сделки, и риск потерять деньги неразрывно связаны с математическим ожиданием. В данной статье мы подробно остановимся на этих двух аспектах трейдинга.

Словарь терминов:

В: Смещение (коэффициент прибыльных сделок)

R: Отношение прибыльных сделок к убыточным (вероятность)

Е: Математическое ожидание ставки (преимущество)

FO: Оптимальная ставка по Келли

ЕЕ: Результирующий баланс счета

N: Количество сделок

Ставка: Процент от баланса в сделке (потенциальный убыток)

ROR: Риск банкротства

Существует некоторое недопонимание торговли с использованием математического ожидания и критерия Келли (оптимальная ставка — FO). Данная статья проясняет эти вопросы. Для вычисления математического ожидания (Е) используется достаточно простое уравнение:

Математическое ожидание (Е) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Если математическое ожидание больше нуля, это дает вам преимущество в торговле. Смысл в том, что положительное математическое ожидание ведет к положительной (с повышением прибыли) торговле, а нулевое или отрицательное математическое ожидание означают, что не нужно торговать вообще.

В общем случае, есть два вида торговли: торговля фиксированной суммой обычно ассоциируется с игрой в казино, а торговля фиксированной частью (FF) — с работой на рынке акций. Например, при игре в рулетку мы обычно ставим фиксированную сумму и повторяем эту ставку многократно без изменений. Оказывается, игра на рулетке является убыточной для игрока, поскольку E = -0.0526.

На длительном интервале времени игрок потеряет свои деньги (конечно, всегда есть исключения, когда везунчик побеждает заведение). Поскольку (в общем случае) изменение ставки не применяется, игрок теряет 2$ за каждые 38 вращений колеса (при ставке 1$ за раз), что приводит к линейному убытку на уровне -5.26%, который увеличивается по мере роста числа ставок (в среднем).

Таким образом, итоговый убыток на балансе счета, в среднем, выражается формулой:

EE = E * N * Количество ставок

Инвестирование FF-типа отличается, поскольку убытки и приобретения накапливаются по экспоненциальной ставке, определяемой следующей формулой торгового баланса.

Баланс = 1 + Прибыль = (1 + R * Ставка)BN * (1 – Ставка) [(1 – B) * N]

Здесь итоговый баланс счета изменяется по сложной нелинейной зависимости, со всплесками вверх и вниз. В случае игры с фиксированной ставкой, результирующий баланс является предсказуемым, поскольку значения Е, N (количество ставок) и размер ставки известны. Для ставок FF-типа это не так, потому что накопительный результат, как вы скоро увидите, может, в конце концов, снизиться.

Накопительный эффект привел к появлению критерия Келли — уравнения, которое является производной от данного уравнения, приравненной к нулю. Это дает простое уравнение оптимума, которое описывает максимальный размер баланса счета как функцию всего двух переменных: Е и R. Уравнение выглядит следующим образом:

FO = вероятность * B – (1 – B)]/вероятность = [B * (1 + R) – 1]/R = E/R

где вероятность = R

Рисунок 1

На рисунке 1 изображена зависимость между смещением (В), коэффициентом прибыльных сделок ® и математическим ожиданием (Е в данном примере задано на уровне 0.50). На этот линейный график наложен возможный оптимум баланса при FF-торговле, полученный на основании оптимальной ставки (FO), находящейся в пределах от 5% до 50%. При низких значениях R (от 0.5 до 1), смещение высоко (0.5 и выше), при этом возможны более высокие значения...

Читать дальше: http://www.utmagazine.ru/posts/10958-riski-i-matematicheskoe-ozhidanie-v-treydinge-ih-vzaimosvyaz