Оптимальная доля счета для торговли

Действительно, оказалось, что максимум TWR достигается при F = 0.25 и равен 10.5 (весь счет увеличился в 10.5 раз). Интересно, что при F > 0.5 счет начинает не расти, а убывать (TWR < 1). Значит, если ставить каждый раз на кон более половины счета, то при достаточном кол-ве сделок счет неизбежно будет слит.

Но как можно вычислить оптимальное F, не прибегая к моделированию сделок? Введем новое понятие - функция полезности. Она будет показывать для каждого прироста счета, насколько это приращение было полезно для нас. Anon предложил использовать в качестве функции полезности натуральный логарифм (Ральф Винс в своей третьей книге тоже советует Ln, вот здесь его рассуждения на эту тему).

Имея функцию полезности, мы можем посчитать ее значения для каждого возможного исхода игры. А используя распределение вероятностей этих исходов, можем посчитать матожидание этой функции на заданном распределении, т.е. как бы среднюю полезность. И можем это сделать для каждого возможного значения F, от 0 до 1. Назовем новую функцию: МОП(F) (решил так назвать по первым буквам МатОжиданиеПолезности). Вот какой у нее получается график для рассматриваемой игры (нормировал и привел ее к масштабу графика TWR):
 

Видно, что максимум функции МОП совпадает с максимумом функции TWR. При F = 0 и 0.5 МОП равна нулю, т.е. при таких ставках мы не будем ни зарабатывать, ни терять деньги. При F > 0.5 матожидание полезности < 0, соответствует тому, что счет будет таять при таком F. Провел несколько экспериментов с исходными параметрами игры, и каждый раз максимум функции TWR совпадал с максимумом МОП. Т.е. теоретические расчеты совпадали с моделированием сделок. Вот несколько примеров:

• Выигрыш 2 к 1 с вероятностью 80%
• Выигрыш 3 к 1 с вероятностью 30%
• Выигрыш 1 к 1 с вероятностью 50%
• Выигрыш 1 к 1 с вероятностью 30%

Последние два графика показывают, что если матожидание исхода игры = 0 или отрицательное, то оптимальное F = 0. И любая ненулевая ставка неизбежно будет приводить к убытку.

Вернемся теперь к опционам. Применяя эту же технику, вычисляем МОП на распределении вероятностей и находим оптимальное F. Максимальное МОП, соответствующее этому F, примем за общую оценку позиции. Чем больше матожидание полезности у комбинации, тем лучше (полезнее) для нас эта комбинация. Вот пример, какие получились оценки для некоторого списка стандартных комбинаций:


В отличии от прошлой оценки через свертку теперь не нужно ломать голову над весами для свертки. МОП сразу учитывает и доходность, и риск. Отношение к риску регулируется выбором функции полезности. Если берем Ln — у нас «неприятие риска». Если что-то вроде Sqr — «жажда риска» (чем больше ожидаемая доходность, тем все более и более полезной считаем комбинацию).

Лучшей комбинацией (из рассмотренных) в этот раз получился «лонг колл». Оптимальное F у него 0.192, т.е. если такой колл стоит 100, а у нас на счету 1000, то самым оптимальным будет купить 2 колла. Если же не послушаться математики и купить, например, 9 контрактов (F = 0.9), то ожидаемая доходность, конечно, вырастет (с 15% до 70%), но теперь с вероятностью почти 60% мы можем потерять 90% от счета. О чем нам и говорит новая оценка МОП этой позиции, которая стала хуже всех остальных:
 

Это доказывает, что даже потенциально самую лучшую комбинацию можно превратить в очень не полезную для счета позицию, если открыть ее слишком большим объемом.

Подведем итог: если у нас есть распределение вероятностей (в которое верим), и есть функция полезности (которая отражает наши предпочтения к риску), то для любой комбинации можно точно вычислить ее оптимальный объем.