Основы теории вероятностей или самоуверенным неучам посвящается

Пост по мотивам предыдущего: smart-lab.ru/blog/210413.php
Который в свою очередь являлся комментарием к: smart-lab.ru/blog/210372.php

Пост мотивирован комментариями (к моему предыдущему посту) самоуверенных неучей, которые демонстировали свое невежество чересчур агрессивно.
Причиной дискусси возникшей явлейтся тот факт, что при решении задач связанных с вероятностями люди слишко легкомысленно доверяются своей интуции. Всем известный парадокс Монти-Холла является ярким подтверждением этому. Одним из способов решения данной проблемы является моделирование задачи на компьютере. Поэтому тем, кто умеет программировать, настоятельно рекомендуется все свои решения задач связанных с вероятностями и статистикой проверять, используя данный метод.

Однако сегодня я всё же обойдусь без компьютера и продемонстрирую решение задачи из поста monte_carlo, фактически используя только ручку и листок бумаги.

Задача.
Задано:
1) начальная точка торговли: 0 пункт
2) тейк профит: 3 пункт
3) стоп лосс: -1 пункт
4) движение цены равновероятно
Найти: вероятность стоп лосса, вероятность тейк профита.

Вот НЕправильное решение monte_carlo из его поста:
«Теперь давайте посмотрим, какая будет вероятность при увеличении тейка в 3 раза по сравнению со стопом. Т.е. ТР = 3 тика, а стоп по-прежнему – 1 тик. По логике большинства, вероятность срабатывания стопа «чисто теоретически» и «при прочих равных условиях» (т.е. когда движение вверх и вниз – равновероятно) должна быть равна 2/3, а тейка 1/3. Давайте посмотрим так ли это.

Для этого выявим все возможные варианты (траектории) для 3 тиков:

1. Три тика вверх
2. Два тика вверх, один тик вниз
3. Один тик вверх, два тика вниз
4. Один тик вверх, один тик вниз, один тик вверх
5. Три тика вниз
6. Два тика вниз, один тик вверх
7. Один тик вниз, два тика вверх
8. Один тик вниз, один тик вверх, один тик вниз

Итого, за следующие 3 тика цена может пойти по 1 из 8 траекторий. Благоприятный исход для нас только первый. Соответственно, его вероятность = 1/8. Стоп сработает в 5 вариантах (3, 5, 6, 7, 8). Следовательно, его вероятность = 5/8. Несколько отличается от версии знатоков, не правда ли? Мне могут возразить, что тейк не обязательно должен быть достигнут последовательными 3 тиками вверх, он может быть достигнут например за 5 тиков – 2 вверх, 1 вниз, 2 вверх. Т.е. траекторий может быть больше. Но, во-первых, ребята, я уже выполнил ваши условия и рассчитал вероятность для тейка в 3 раза большего, чем стоп «при прочих равных условиях» (все траектории – равновероятны и вероятность каждой = 1/8). А во-вторых, нет проблем, добавим тиков! Рассчитаем вероятность достижения тейка, размером 3 тика, за ход рынка в 4 тика. Получим такие вероятности – 2/16 (тейк) и 10/16 (стоп). Т.е. то же самое! Проверяйте, не стесняйтесь. Для большего числа тиков – считайте сами. Как ни крути, но стоп не будет срабатывать в 3 раза чаще, при тейк-профите в 3 раза больше стопа, даже в теории!»


Правильное ревешение:

Нарисуем следующий граф вероятностей

Пояснения:
Из нулевой начальной точки цена с одинаковой вероятностью (0,5) может пойти как в +1, так и в -1.
1 тик: в -1 один из путей для цены завершается. Однако в точке +1 движение продолжается.
2 тик: события, куда пойдёт цена из точки +1, снова равновероятны, но они пополам уже делят не единицу (как в нулевой точке), а 0,5. Поэтому их вероятности равны 0,25.
3 тик: можно только сделать пояснение, что поскольку в точку +1 ведут два пути, вероятность умножется на два.
Сумма вершин дерева должна быть равна единице.
Как это ни может показаться удивительным, но решение monte_carlo для трёх тиков численно равно данному результату.
Но уже далее становится понятно, что его решение неверно.

Дерево вероятностей для 4-х тиков:

Всё аналогично.

Продолжая процесс, дерево получается следующим:

Из него собственно и находятся искомые вероятности.
Поскольку с увеличением времени вероятности в точках +1 и +2 стремятся к нулю (уже на десятом тике они достаточно небольшие), то ими можно пренебречь.
Тогда вероятности, обведенные зелёной линией (за исключением 0,5) должны быть равны. Отсюда и вычисляются вероятности тейк профита и стоп лосса.
Расчёты приведены на картинке. Вероятность стоп лосса = 0,75; вероятность тейк профита = 0,25; их отношение = 3:1.
Моделирование задачи на компьютере, о котором я упоминал в своем прошлом посту, подтверждает правильность полученных результатов.

Спасибо за внимание.