Что такое викс

Я обещал написать про индекс волатильности. Последний раз я серьезно занимался виксом давно, а именно летом 2011 года, когда его только запускали. Поэтому сейчас пришлось вспоминать свои старые мысли. Иногда это бывает полезно, но, к сожалению, в этот раз новые мысли не последовали за старыми.

Итак, приведенные размышления очень наглядно покажут, что такое викс. Запишем изменение цены опциона в виде

dO = delta * dS + 0.5 * gamma * dS^2 + theta * dt + vega * dSigma +…, (1)

где, разумеется, греки зависят от (S, K, T, sigma). Теперь представим себе, что  дельта и вега портфеля нейтральны и забудем про них, а займемся членом

dO' =  0.5 * gamma * dS^2 + theta * dt, (2)

вечной борьбой льда и пламени (теттой и гаммой). Посчитаем, что процесс у нас броуновский (хотя бы локально), то есть

dS^2 = S^2 * sigma_m^2 * dt. (3)

Я специально ввел обозначение sigma_m, чтобы подчеркнуть, что речь идет о волатильности БА. Далее подставим (3) и формулы отсюда http://en.wikipedia.org/wiki/Black–Scholes для тетты и гаммы в (2) и получим


dO' = 0.5 * N'(d1) * S  * dt / sqrt(T) * (sigma_m^2 / sigma — sigma), (4)

здесь сохранены обозначения вики. Только нужно обратить внимание, что появилась sigma, которая является волатильностью данного опциона, то есть просто параметром в формуле БШ.

Далее, рассмотрим портфель из опционов равномерно размазанный по непрерывным страйкам. Распад такого портфеля будет

dП = 0.5 * S * dt / sqrt(T) *
\int dK N'(d1(S, K, sigma(K)))) * (sigma_m^2/sigma(K) — sigma(K)), (5)

интегрирование идет от нуля до бесконечности, зависимость sigma(K) выписана явно. Теперь потребуем, чтобы распад портфеля был нулевым, откуда сразу получим

sigma_m^2 = [\int (dK N'(d1) * sigma)] /  [\int (dK N'(d1) * 1/sigma)], (6)

а 

VX = sqrt(sigma_m^2).

То есть в таком виде викс есть ни что иное, как рыночная волатильность, которая обратила бы распад равномерно размазанного портфеля в ноль. Это значит, что в таком виде викс не имеет никакого отношения к опционам а том плане, что не может быть правильно захеджирован опционным портфелем.

Теперь посмотрим, как выглядит такой викс. Хм. Изображение не хочет вставляться, так что придется верить мне наслово. То что получается ведет себя в точности как оригинальный викс. Однако есть некоторое смещение (0.2 примерно). Но, главное, что динамика абсолютно такая же. На мой взгляд, этот результат делает викс более понятным. А также наглядно показывает, что викс абсолютно непригоден для арбитража с опционным портфелем.

P.S. Сегодня днем вдруг с моря пришла туча, потемнело, начался ливень с грозой и колокола били 1230. Отвлекся от работы на новости — Навального посадили. «Вот это дела» — подумал я, глядя на море и горы.