Математическое ожидание: думай как казино (или нет)

Прибыль казино и прибыль успешного трейдера (вас, то есть) построены на одном и том же принципе – на математическом ожидании, а не на разовых удачных сделках. Казино зарабатывает не потому, что ему «везёт», а потому что вероятность каждой игры слегка смещена в его пользу. На коротком промежутке казино может как выигрывать, так и проигрывать, но на длинной дистанции преимущество по вероятностям неизбежно реализуется в деньги.

В торговле на рынке логика та же. Ваша задача – сделать так, чтобы каждая отдельная сделка статистически была на вашей стороне, а затем достаточное кол-во раз повторить эту ситуацию, не убив счёт рисками и пересиживаниями.

Что такое математическое ожидание сделки

Формально математическое ожидание сделки можно записать так:

E=(Pwin​×Rwin​)−(Ploss​×Rloss​)

где Pwin​ – доля прибыльных сделок, Rwin​ – средняя доходность прибыльной сделки (в процентах к капиталу на сделку), Ploss​ – доля убыточных сделок, Rloss​ – средняя величина убытка. Доли сделок суммируются до единицы: Pwin+Ploss=1

Пример:

• прибыль на сделку: 6%

• доля прибыльных сделок: 60%

• убыток на сделку: 4%

• доля убыточных сделок: 40%.

Тогда математическое ожидание:

Это означает: если бы вы могли сделать бесконечно много сделок по таким условиям, то в среднем одна сделка давала бы около 2% прибыли к рискуемому капиталу. Это ожидаемое значение, а не гарантированный результат для каждой конкретной сделки.

Если вы торгуете, например, объемом 10000 долларов, то при матожидании 2% средняя прибыль на сделку на длинной дистанции составит порядка 200 долларов. Сделали 300 сделок в год – в статистическом среднем можно ожидать порядка 60000 долларов прибыли до поборов и без учета проскальзываний.

Момент: ожидание считается на одну сделку. Доходность по счёту за большое кол-во сделок считается через сложный процент, а не простое сложение.

Положительное E можно получить с различными комбинациями стоп / тейк / винрейт. Главное – чтобы формула давала плюс (ну не для всех, конечно).

Пусть:

• цель по прибыли: 5%

• стоп‑лосс: 20%

• доля прибыльных сделок: 88%

• доля убыточных: 12%.

Тогда:

Ожидание в процентах такое же, как и в предыдущем примере – 2% на сделку. Но профиль риска совсем другой: редкие, но тяжёлые убытки и очень высокий винрейт. Вы таких торговцев все видели.

Или так: 

Известный пример из подхода Уильяма О’Нила (CANSLIM):

• тейк: +20%

• стоп: −8%

• доля прибыльных сделок: 30%

• доля убыточных: 70%.

Математическое ожидание положительное, но относительно небольшое – 0,4% на сделку. Здесь стратегия держится за счёт крупных редких профитов, перекрывающих частые маленькие стопы.

Как пример (отсюда https://smart-lab.ru/mobile/topic/1026457/): 

Вывод локальный: важен не винрейт сам по себе и не размер стопа, а то, какое ожидание даёт их комбинация при торговле реальной монеткой.

Один положительный E ещё не делает стратегию интересной. Нужно три элемента:

• положительное математическое ожидание;

• достаточное количество сделок (возможностей);

• разумный срок удержания позиции.

Если у вас система даёт 8% ожидаемой прибыли на сделку, но при этом всего одну сделку в год, то по факту вы получаете около +8% годовых – это уровень спокойного депозита, а не активной торговли.

С другой стороны, можно иметь скромное ожидание, скажем, 0,2% на сделку, но очень много сделок, например 1000 в год. Тогда сложный процент начинает работать на вас.

Корректно думать так: пусть средняя доходность сделки по счёту – r. Тогда после N сделок капитал меняется как:

а не как Equity_N = Equity_0 * (1 + r * N)

То есть доходности по сделкам мультипликативны – это ключевой момент, который часто упрощают. Также крайне желательно, чтобы сделки были достаточно независимы и риск на одну сделку не приводил к быстрому сливу при убыточной серии.

Казино, имея небольшое преимущество в 1–2% на ставку, делает много «оборотов» капитала в единицу времени. В блэкджеке одновременно работают десятки столов, каждая раздача идёт быстро, и за час проходит десятки игровых циклов на деньги каждого игрока.

Если преимущество казино, условно, 2,5% на ставку в 2 доллара, то в среднем оно зарабатывает около 5 центов с каждой игровой «единицы». Но если таких ставок в час десятки, то за много часов игры игрок постепенно отдаёт значительную часть своего банка именно за счёт повторения одной и той же ситуации с положительным ожиданием для казино.

В трейдинге аналогичный принцип:

• мало сделок при хорошем ожидании – деньги растут медленно;

• много сделок при положительном ожидании – деньги на депошке растут быстрее за счёт большого числа повторений.

И при равном ожидании выгоднее та стратегия, которая даёт больше независимых возможностей в единицу времени при контролируемом риске.

Даже если у вас есть система с положительным ожиданием и достаточным количеством сигналов, можно убить общий результат из-за слишком долгого удержания позиции (это моя проблема, в частности, одна из). Если капитал надолго застревает в одной сделке, вы не успеваете реализовать возможное количество циклов.

Пример: иметь 500000 долларов в одной позиции на год, которая принесла +50%, – это хороший результат в абсолюте (+250000 как никак, не х__н собачий). Но гораздо интереснее иметь систему, которая позволяет работать, скажем, 100000 долларов и делать множество коротких сделок с положительным матожиданием и высокой оборачиваемостью.

Если у вас есть метод с ожиданием порядка 1,2% на сделку и вы успеваете обернуть капитал 250 раз за год, то сложный процент сделает своё дело, и итоговая сумма может оказаться значительно выше, чем разовая 50‑процентная доходность на большой позиции, причём с более гибким управлением риском и меньшей зависимостью от одной‑единственной идеи.

Конкретный уровень результата зависит от реального среднего r по счёту, но сам принцип: «много независимых сделок с положительным ожиданием и умеренным (а лучше коротким) временем удержания лучше одной большой долгой ставки» – абсолютно рабочий.

Если собрать всё вместе, то, чтобы вести себя как казино на рынке, трейдеру нужны три вещи:

• Положительное математическое ожидание каждой сделки, с учётом реальных комиссий и проскальзывания.

• Достаточное количество сделок в год, чтобы статистика успевала сыграть свою роль.

• Относительно короткий срок удержания позиции, чтобы капитал не простаивал и мог многократно оборачиваться.

Система с нулевым или отрицательным ожиданием на длинной дистанции проигрывает – как игрок, который бесконечно играет в игру с преимуществом казино. Задача трейдера – организовать свою торговлю так, чтобы в роли казино были именно вы… (но лучше мы)